淺議質點組系統的機械能守恒解題分析

貴州 楊 勇

機械能守恒定律是解決動力學的基本定律，是自然界最普遍的一種能量守恒，機械能守恒的條件幾乎包括了功能關系的基本原理，機械能守恒的應用是動力學中的重點及難點，是高考考查的重點知識。所以理解和應用機械能守恒定律是高三復習的重點知識，由于多個物體系統的機械能守恒是多數學生在判斷和計算上容易出錯的問題，所以本文將從多個物體組成的系統進行分析機械能守恒定律的應用。

一、利用重心分析系統機械能守恒定律的應用

【例1】如圖1所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為θ的足夠長的光滑斜面，斜面體固定不動，AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連，一條長為L的均勻柔軟鏈條開始是靜止地放在ABC表面上，其一端D至B的距離為L-a，現自由釋放鏈條，求當鏈條的D端滑到B點時鏈條的速率v。

圖1

【評價】本題是考查學生對質量分布均勻的鏈條問題的處理，通常此類問題在考試中都以系統機械能守恒的形式出現，主要是考查學生對機械能守恒定律的理解和應用。但是對于此類問題，由于鏈條不是筆直的，所以在計算時，部分學生會把鏈條分成兩部分來計算，這樣鏈條和鏈條之間會有張力做功，導致計算錯誤，所以在練習時一定注意此類問題的系統性。

【變式1】如圖2所示，在傾角為θ的光滑固定斜面上，放有兩個質量分別為mA和mB的可視為質點的小球A和B兩球質量相等，兩球之間用一根長為L的輕桿相連，小球B距水平面的高度為h。兩球從靜止開始下滑到光滑地面上，不計球與地面碰撞時的機械能損失，重力加速度為g。求：當A滑到水平面時的速率vA。

圖2

【解析一】由于A、B兩球可以看成質點，小球A、B和輕桿組成的系統機械能守恒，當A、B都滑到水平面上時，由于有輕桿連接，所以在水平面上時速度相等，即vA=vB，取水平面為零勢面，根據機械能守恒定律有

【評價】對于本題的兩種解法，結果都是一樣的，由于在末狀態兩小球都到水平面時，其重心的速度與兩球的速度大小和方向都一致，也就是相對速度為零，所以兩種方法處理最終的結果都對，但是當末狀態兩小球與重心具有一定的相對速度時，兩種解法不一定相等，這涉及質心(即質點系質量中心)運動規律。所以在高考復習中對于此類模型的系統機械能守恒，處理方法一般都用“解析一”的方式求解。

二、利用質心參考系分析系統機械能守恒定律的應用

在高中階段，我們所遇到的大部分質點系模型的運動大多數是平動，所以我們在選擇相應的處理辦法時不需要考慮更多的因素，但是偶爾會遇到有轉動的情形，所以若用等效重心的方法處理會遇到一些麻煩，下面通過幾個實例來分析等效重心處理質點系統機械能守恒時遇到的一些情況。

【例2】如圖3所示，在長為L的剛性輕桿的中點A和端點B處各固定一質量為m可視為質點的小球，桿可繞軸O無摩擦轉動，求：當桿從水平位置無初速度釋放轉到豎直位置時，小球B的速度大小。

圖3

【解析一】以小球A、B和輕桿組成的系統為研究對象，在擺動的過程中，由于輕桿不會發生形變，所以剛性輕桿不儲存能量，整個過程中只有重力對系統做功，因此在輕桿擺動的過程中，只有重力勢能和動能之間的轉化，因此系統的機械能守恒。擺動過程，兩小球做圓周運動，A、B的角速度ω相等，取最低點為參考面，即重力勢能為零，由系統的機械能守恒定律得

【評價】此解法是我們在教學以及做題時通常應用的方法，也是高中教輔資料所給出的解析方法，由于在高中階段，我們所掌握的物理方法較少，所以一般情況下，處理此類問題都用以上的辦法，但是由于受到均勻鏈條類似問題的影響和題型，有的同學為了方便、簡單，會選擇用重心的方法處理，下面來分析利用重心方法處理是否可以得到相同的結果。

因此可以得到相同的結果。

【變式2】質量都為m的兩個小球P和Q，中間用輕質桿固定連接，桿長為3L，在離P球L處有一個光滑固定軸O，如圖4所示，現在把桿置于水平位置后自由釋放，在Q球順時針擺動到最低位置時，求：小球Q的速度大小。

圖4

【解析一】由于小球P和Q與桿組成的系統只有重力做功，所以機械能守恒，小球Q的重力勢能減少，轉化成小球P的動能和重力勢能以及小球Q的動能，小球Q到達的最低點為參考面，由機械能守恒定律得

由于P、Q繞O點轉動的角速度相等，設角速度為ω，則

vQ=ω2L，vP=ωL

【解析二】找小球P和Q的質心(質量的中心)，由于兩小球質量相等，則質心在P、Q連線上中點處，選擇Q到達的最低點為參考點，根據柯尼希定理得

【評價】通過以上對兩個質點組成系統機械能的兩種計算方法的對比，發現求解此類質點組系統機械能守恒問題時，可以通過求解單個質點的機械能的變化，最后把所有的質點的機械能變化關系求和即可，也可以用質心問題進行求解，但是用質心問題時要注意質點組的動能表示形式，其滿足柯尼希定理。在高中階段，我們所研究的基本是單個質點，偶爾也遇到多質點組系統，但是大多數的是平動，所以用單個質點相對基本參考系計算機械能守恒和用質心參考系(高中常表示為重心)計算是一樣的，因為各質點組相對于質心參考系速度為零。但是若果遇到像均質桿轉動等問題，應用高中常表示的找重心的方法計算就會得到錯誤的答案，因此我們應用微元等相應的方法解決。

三、利用微元法計算均質桿轉動的機械能守恒

在高中階段微元法的應用比較多，比如均質的細桿其質量可以看成是很多質量元Δmi的疊加，則m=∑Δmi，下面應用微元法處理均質桿類型的機械能守恒問題。

【例3】如圖5所示，質量為m的均勻細桿OA，長度為L，從水平位置釋放，可繞O點做無摩擦地轉動，求：當轉到豎直位置時，A端的速度大小。

圖5

【解析一】對于均勻桿，我們可以看成是一個質點系統，在桿擺動過程中，由于各質點的速度不一樣，則不能用質心來代替該桿，我們可以把質量為m的桿分n等份，Δm1，Δm2，Δm3……Δmn每一等份可以看成一個質點，利用各質點相對基本參考系的機械能守恒得

由于vi=ωli，則

若直接應用重心的方式進行計算，則得到的答案必然是錯的。

【解析二】如果取重心，則應用柯尼希定理得

【評價】對于均勻細桿此類型的問題，在高中階段大多數是平動的，學生在處理的時候有時會想到用重心的方法來簡單處理，答案也是對的。但是在教學的過程中，我們要讓學生知道，等效重力解決問題的條件性，不要把所有模型都統一用同一種解題方式，這樣對學生追求物理規律和科學處理問題的方法存在限制。在教學中，尤其是具有一定數學基礎的高中生，我們要盡可能地讓學生掌握更多的用數學知識處理物理問題的方法，不要禁固于公式的套用，這樣會失去學習物理的意義。