從功能關(guān)系的角度歸類分析力學(xué)綜合問題

廣東 蔡 鉗

動量與能量結(jié)合的綜合問題，在高考試題中非常常見，且經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)。在系統(tǒng)(兩個以上的物體組成)內(nèi)物體間的相互作用中，應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律結(jié)合動量守恒定律、功能關(guān)系解決問題，是常見的思路。如果能處理好功能關(guān)系，解決這類問題可以事半功倍。

常見的功與能的關(guān)系有：(1)克服摩擦力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；(2)克服重力做功轉(zhuǎn)化為重力勢能；(3)克服彈力做功轉(zhuǎn)化為彈性勢能；(4)克服電場力做功轉(zhuǎn)化為電勢能；(5)克服安培力作用轉(zhuǎn)化為電能進(jìn)而轉(zhuǎn)化為焦耳熱。本文主要通過分類歸納這些功能關(guān)系問題，聚焦內(nèi)能、重力勢能、彈性勢能、電勢能和焦耳熱與動能之間的轉(zhuǎn)化過程，探討解決問題的思路和方法。

一、彈簧類問題——通過彈力做功儲存與釋放彈性勢能

【問題1】如圖1所示，在光滑水平地面上有一質(zhì)量為m的木塊A，靠在豎直墻壁上，用一輕質(zhì)彈簧與質(zhì)量為2m的物體B相連。現(xiàn)用力向左推B，使彈簧壓縮至最短時，外力對B做的功為W，然后突然釋放。

圖1

(1)分析此后彈簧的彈性勢能何時再次達(dá)到最大值；

(2)求木塊A所獲得的最大速度和最小速度。

【分析與解答】

過程分析：抓住彈力做功與彈性勢能變化進(jìn)行分析。

1.外力向左推物體B的過程(儲存勢能)：外力推B壓縮彈簧，克服彈力做功，將外力做的功轉(zhuǎn)化為能量儲存在彈簧中，彈簧獲得彈性勢能E0=W；

3.物塊B和彈簧拉著物塊A向右運(yùn)動，彈簧伸長。動能轉(zhuǎn)化為彈性勢能，當(dāng)vA=vB時彈簧的彈性勢能最大。(儲存彈性勢能)。彈簧第一次被拉伸至最長時，由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得

2mvB0=(2m+m)v

4.當(dāng)彈簧的長度大于原長時，A受到彈簧的拉力作用，始終被加速；當(dāng)彈簧長度小于原長時，A受到彈簧的推力作用，始終被減速。A獲得最大速度和最小速度出現(xiàn)在其加速和減速過程結(jié)束的時刻，即彈簧處于原長時，此時Ep=0，彈性勢能釋放完畢，全部轉(zhuǎn)化為動能，由動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得

2mvB0=mvA+2mvB

從以上過程分析，不難發(fā)現(xiàn)解決彈簧類的動量和能量問題，抓住彈性勢能的變化過程，是解題的關(guān)鍵。

圖2

(1)求P第一次運(yùn)動到B點時速度的大小；

(2)求P運(yùn)動到E點時彈簧的彈性勢能。

【分析與解答】

過程分析：抓住彈性勢能與其他能量的轉(zhuǎn)化

1.小物塊P從C下滑第一次到達(dá)B，重力勢能轉(zhuǎn)化為動能和內(nèi)能，由功能關(guān)系可知

2.從B到E的過程，動能和重力勢能轉(zhuǎn)化為彈性勢能和內(nèi)能(儲存勢能)，設(shè)E與B距離為x，則

3.從E到B的過程，彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能、重力勢能和內(nèi)能(釋放勢能)，則

從B到F由功能關(guān)系可知

從以上過程分析，不難發(fā)現(xiàn)抓住彈性勢能與動能、重力勢能和內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)化過程，是解題的關(guān)鍵。

【變式2】輕質(zhì)彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l，現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖3所示，物塊P與AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開，P開始沿軌道運(yùn)動，重力加速度大小為g。

圖3

(1)若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點時的速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點之間的距離；

(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍。

【分析與解答】

過程分析：抓住彈性勢能與其他能量的轉(zhuǎn)化。

1.通過重力做功儲存彈性勢能：豎直放置時，重力勢能轉(zhuǎn)化為Ep彈，由機(jī)械能守恒得5mgl=Ep，此時彈簧長度為l；水平放置時用外力推至彈簧長度為l，彈性勢能也為Ep。

2.彈簧將彈性勢能釋放后，彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能和內(nèi)能，由能量守恒定律可知Ep=EkB+Q

3.從B運(yùn)動至D過程中動能轉(zhuǎn)化為重力勢能，由動能定理可知

此后，物體做平拋運(yùn)動可知

4.假設(shè)物塊質(zhì)量為m′，彈簧從相同長度釋放，彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能和內(nèi)能，則

若要滑上圓弧還能沿圓弧滑下，則最高不能超過C點此時假設(shè)恰好到達(dá)C點，則根據(jù)能量守恒定律可知

5mgl=μm′g·4l+m′gl

【解題思路】通過上述分析過程，不難發(fā)現(xiàn)彈簧類問題，始終“抓住”彈性勢能的儲存和釋放過程，弄清楚彈性勢能與其他形式能量之間的轉(zhuǎn)化問題。

解題方法可歸納為：釋放彈簧或壓縮彈簧過程——能量守恒；圓弧上轉(zhuǎn)動過程——動能定理；平拋過程——運(yùn)動的分解：彈簧拉或彈開物塊過程——動量守恒。

二、相對滑坡問題——“分析”重力勢能與動能之間的轉(zhuǎn)化

【問題2】在光滑水平地面上放有一質(zhì)量為M帶光滑弧形槽的小車，一個質(zhì)量為m的小鐵塊以速度v0沿水平槽口滑去，如圖4所示，求：

圖4

(1)鐵塊能滑至弧形槽內(nèi)的最大高度；(小車上滑槽足夠高)

(2)小車的最大速度；

(3)若M=m，則鐵塊從右端脫離小車后將做什么運(yùn)動？

【分析與解答】

過程分析：抓住重力勢能與動能的轉(zhuǎn)化。

1.鐵塊滑至最高處時，有共同速度v(相互作用過程，水平動量守恒)

mv0=(M+m)v

2.滑塊滑上弧面最高位置，滑塊的重力勢能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的動能

3.鐵塊從小車右端滑離小車時，小車的速度最大為v1，此時鐵塊速度為v2，相互作用過程水平動量守恒，則

mv0=Mv1+mv2

4.滑塊從最高處下滑過程，滑塊的重力勢能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的動能，則

當(dāng)M=m時，解得v2=0，因鐵塊滑離小車后只受重力，所以做自由落體運(yùn)動。

【變式3】上題中，若車上滑槽不夠高，且滑槽上端是豎直面，求滑塊離開小車后上升的最大高度h。

【分析與解答】

過程分析：始終抓住重力勢能與動能的轉(zhuǎn)化。

滑塊離開小車時，水平速度與小車相同，設(shè)為v3；滑塊離開小車后，僅受重力作用，故水平速度不變，當(dāng)滑塊的豎直速度減小為零時，滑塊到達(dá)最高點，設(shè)滑塊該過程上升的高度為h。

1.相互作用過程中，水平方向動量守恒，則

mv0=(M+m)v3

2.滑塊從滑上小車，直到滑塊到達(dá)最高點的過程中，動能轉(zhuǎn)化為重力勢能，則

【解題思路】解決物塊與小車“相對滑坡”的問題，抓住兩個關(guān)鍵點：(1)重力勢能與系統(tǒng)動能之間的轉(zhuǎn)化(或許由其他形式能量)；(2)當(dāng)滑塊不再相對小車滑動時共速，滑塊在小車上到達(dá)最高點(滑塊不脫離小車)；(3)若滑塊滑上光滑小車后又滑回小車底端，重力勢能沒有變化，初、末動能相等。

三、板塊類問題——“聚焦”摩擦生熱與系統(tǒng)動能之間的變化關(guān)系

【問題3】如圖5所示，質(zhì)量M=3.5 kg的小車靜止于光滑水平面上靠近桌子處，其上表面與水平桌面相平，小車長L=1.2 m，其左端放有一質(zhì)量為0.5 kg的滑塊Q。水平放置的輕彈簧左端固定，質(zhì)量為1 kg的小物塊P置于桌面上的A點并與彈簧的右端接觸。此時彈簧處于原長，現(xiàn)用水平向左的推力將P緩慢推至B點(彈簧仍在彈性限度內(nèi))時，推力做的功為WF=6 J，撤去推力后，P沿桌面滑到小車上并與Q相碰，最后Q停在小車的右端，P停在距小車左端0.5 m處，已知AB間距L1=5 cm，A點離桌子邊沿C點距離L2=90 cm，P與桌面間動摩擦因數(shù)μ1=0.4，P、Q與小車表面間動摩擦因數(shù)μ2=0.1，P、Q均視為質(zhì)點(重力加速度g取10 m/s2)求：

圖5

(1)P到達(dá)C點時的速度vC；

(2)P與Q碰撞后瞬間Q的速度大小。

【分析與解答】

過程分析，始終聚焦：FfΔs=Q(Q是板塊的動能轉(zhuǎn)化而來)。

解得vC=2 m/s

2.設(shè)P、Q碰后速度分別為v1、v2，小車最后速度為v，相互作用過程中動量守恒，則

m1vC=m1v1+m2v2，m1vC=(m1+m2+M)v

3.碰后P、Q的動能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)最終的動能和系統(tǒng)摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，由能量守恒定律得

(聚焦關(guān)鍵點：滑塊Q與小車的相對路程是L，P與小車的相對路程是s)

圖6

(1)A、B最后速度的大小；

(2)鐵塊A與小車B之間的動摩擦因數(shù)；

(3)鐵塊A與小車B的擋板相碰撞前后小車B的速度，并在圖7坐標(biāo)中畫出A、B相對滑動過程中小車B相對地面的v-t圖線。

圖7

【分析與解答】

過程分析，始終聚焦：FfΔs=Q(Q是板塊的動能轉(zhuǎn)化而來)。

1.對A、B系統(tǒng)，相互作用過程中動量守恒，則

mv0=(M+m)v

2.在相對滑動過程中，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，該過程物塊相對小車走過的路程為1.5L，由功能關(guān)系可知

3.設(shè)A、B碰撞前速度分別為v10和v20，相互作用過程動量守恒，則mv0=mv10+Mv20

4.A從滑上小車，到與擋板碰撞過程，相對路程為L，該過程系統(tǒng)動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能

5.求滑塊的速度與時間變化關(guān)系的問題，要應(yīng)用牛頓運(yùn)動定律，該過程小車B做勻加速運(yùn)動有

6.A、B相碰，設(shè)A、B碰后A的速度為v1和v2，相互作用過程中動量守恒mv0=mv1+Mv2

7.由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知

該過程小車B做勻減速運(yùn)動，由牛頓第二定律可知

-μmg=MaM

到最終相對靜止v=v2+aMt2，t2=0.433 s

故運(yùn)動的總時間為t=t1+t2=0.75 s

小車B的v-t圖如圖8所示。

圖8

【解題思路】通過上述分析過程，不難發(fā)現(xiàn)板塊類問題，始終“聚焦”系統(tǒng)克服摩擦力做的功等于系統(tǒng)的發(fā)熱量即FfΔs=Q，清楚板塊的動能與內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，便可求解。

解題方法可歸納為：系統(tǒng)動能的減少量等于摩擦生熱(摩擦力與相對路程的乘積，找到相對路程是關(guān)鍵)——功能關(guān)系；板塊相互作用過程——動量守恒；板塊運(yùn)動速度和時間的關(guān)系——分別用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求解。

四、電荷、導(dǎo)體的相對運(yùn)動——“尋找”其他形式的功能關(guān)系

【問題4】如圖9所示，在傾角為θ的斜面上有一輛小車，車的底板絕緣，金屬板A、B、C等大、正對、垂直地安放在車的底板上，它們之間依次相距L，A、B板上各有一等高、正對的小孔，A與B、B與C之間反向連有電動勢各為E1、E2的直流電源。小車總質(zhì)量為M，正以速度v0勻速下滑，此時有一帶負(fù)電的小球正以速度v(v

圖9

(1)小球在A、B板間的運(yùn)動時間；

(2)要使小球剛好打到C板上，E1、E2的大小有何關(guān)系？

【分析與解答】

過程分析：小球與小車通過電場力相互作用過程中，電場力做功與系統(tǒng)電勢能的關(guān)系、機(jī)械能與電勢能的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。

又由于u=v+at

2.小球由A至C先做勻加速運(yùn)動，后做勻減速運(yùn)動。設(shè)小球運(yùn)動到C之前與小車有相同的速度v′。小球與小車相互作用過程中動量守恒，則Mv0-mv=(m+M)v′

3.由小車原來勻速運(yùn)動知，減少的重力勢能恰好等于克服滑動摩擦力做的功。小球與車通過電場力相互作用，小球克服電場力做功大小為qE2，電場力對小球做的正功為qE1，則系統(tǒng)的電勢能增量為qE2-qE1

根據(jù)能量轉(zhuǎn)化及守恒可知

聯(lián)立以上各式解得滿足題意的條件是

【解題關(guān)鍵】抓住系統(tǒng)通過電場力相互作用的過程中，電場力做功與電勢能變化的關(guān)系以及電勢能與動能的轉(zhuǎn)化關(guān)系為解題的關(guān)鍵。

【問題5】如圖10所示，空間存在著一個范圍足夠大的豎直向下的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，邊長為L的正方形金屬框abcd(下簡稱方框)放在光滑的水平地面上，其外側(cè)套著一個與方框邊長相同的U型金屬框架MNPQ(下簡稱U型框)，U型框與方框之間接觸良好且無摩擦。兩個金屬框每條邊的質(zhì)量均為m，每條邊的電阻均為r。給U型框垂直NP邊向右的初速度v0，如果U型框恰好不能與方框分離，則在這一過程中兩框架上產(chǎn)生的總熱量為多少？

圖10

圖11

【分析與解答】

過程分析：始終抓住通電導(dǎo)線在克服安培力做功的過程中，克服安培力做的功等于系統(tǒng)的焦耳熱。即系統(tǒng)焦耳熱與系統(tǒng)動能之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

方框(U型框)每條邊的質(zhì)量為m，則U型框﹑方框的質(zhì)量分別為3m和4m。又設(shè)U型框恰好不與方框分離時的速度為v，此過程中產(chǎn)生的總熱量為Q，由動量守恒定律可知

3mv0=(3m+4m)v(解題關(guān)鍵：相互作用過程中，動量守恒)

由能量轉(zhuǎn)化及守恒可知