形異質(zhì)同
——“人船模型”的應(yīng)用

江西 郭春文

“人船模型”不僅是動(dòng)量守恒定律的典型模型，也是非常重要的力學(xué)綜合模型。它伴隨著力學(xué)與運(yùn)動(dòng)過(guò)程的發(fā)生、發(fā)展和變化，解決此類問(wèn)題常利用微元法，而微元法的思想也是高中物理的難點(diǎn)之一，直接影響動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的分析思路，通過(guò)“人船模型”的學(xué)習(xí)，可以使許多動(dòng)量守恒問(wèn)題迎刃而解。

一、構(gòu)建“人船模型”

兩個(gè)原來(lái)靜止的物體發(fā)生相互作用時(shí)，若所受外力的矢量和為零，則系統(tǒng)動(dòng)量守恒。在相互作用的過(guò)程中，任一時(shí)刻兩物體的速度大小之比等于質(zhì)量的反比，這樣的問(wèn)題歸為“人船模型”問(wèn)題。

【例1】如圖1所示，質(zhì)量為M的船停在靜止的水面上，船長(zhǎng)為L(zhǎng)，一質(zhì)量為m的人，由船頭走到船尾，若不計(jì)水的阻力，求整個(gè)過(guò)程人和船相對(duì)于水面移動(dòng)的距離。

圖1

【解析】“人船模型”是人與船構(gòu)成的系統(tǒng)，由于系統(tǒng)受力平衡，故人和船組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒。在人和船運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以水面為參考系，設(shè)任意時(shí)刻人的速度大小為v1i，船的速度大小為v2i，由于人和船組成的系統(tǒng)任意時(shí)刻所受合力都為零，故任意時(shí)刻都滿足動(dòng)量守恒定律。

對(duì)人和船組成的系統(tǒng)，以向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得0=mv1i-Mv2i

兩邊乘以Δti得0=mv1iΔti-Mv2iΔti

則mx1-Mx2=0

而x1+x2=L

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】首先，從“人船模型”過(guò)程來(lái)看，人動(dòng)船動(dòng)，人快船快，人慢船慢，人右船左，不能簡(jiǎn)單地理解為人勻速向右運(yùn)動(dòng)，要體現(xiàn)微元法的思想；其次，“人船模型”屬于動(dòng)量守恒定律的運(yùn)用，要注意其矢量性、相對(duì)性；最后，解題的要畫人和船的過(guò)程圖，在此過(guò)程中人相對(duì)地面向右運(yùn)動(dòng)，船向左運(yùn)動(dòng)，由于運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性，人的位置在出發(fā)點(diǎn)的右側(cè)，船的位置在出發(fā)點(diǎn)的左側(cè)。

【例2】如圖2所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為M的小船停在靜水中，船頭與船尾分別站立質(zhì)量為m1、m2(m1>m2)的兩個(gè)人，那么，當(dāng)兩個(gè)人互換位置后，船在水平方向移動(dòng)了多少距離？

圖2

【解析】本題是“人船模型”的應(yīng)用，兩個(gè)人和船構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)受力平衡，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒。在人和船運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以水面為參考系，由于兩個(gè)人相向運(yùn)動(dòng)，根據(jù)人船模型結(jié)果可知，人船模型中人與船的位移之比與速度大小無(wú)關(guān)，則可以認(rèn)為左右兩邊質(zhì)量均為m2的人保持靜止，即等效于是一個(gè)質(zhì)量為Δm=m1-m2的人從左向右運(yùn)動(dòng)，船的質(zhì)量變?yōu)镸′=M+2m2，設(shè)人的速度大小為v1i，船的速度大小為v2i。

對(duì)人和船組成的系統(tǒng)，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得0=Δmv1iΔti-(M+2m2)v2iΔti

兩邊求和得(m1-m2)x1-(M+2m2)x2=0

而x1+x2=L

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】首先，本題為“人船模型”的拓展應(yīng)用，題中兩個(gè)人在船上相向運(yùn)動(dòng)，涉及三個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，多對(duì)象問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)，較難分析清楚對(duì)應(yīng)的具體物理過(guò)程及解題思路；其次，兩人相向運(yùn)動(dòng)，可以看成兩人先后運(yùn)動(dòng)求解，此方法雖然可以解題，但是過(guò)程和計(jì)算都比較麻煩，考試中會(huì)浪費(fèi)大量時(shí)間。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多個(gè)物體的“人船模型”問(wèn)題及其解題方法。題中人和船組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，兩人相向運(yùn)動(dòng)，根據(jù)其模型結(jié)論，人和船位移與速度大小無(wú)關(guān)，只與質(zhì)量有關(guān)，可以認(rèn)為船兩端質(zhì)量為m2的人保持靜止，與原來(lái)的船構(gòu)成了一個(gè)新的船，質(zhì)量為M′=M+2m2，相向運(yùn)動(dòng)中，兩人等效于一個(gè)新的研究對(duì)象，質(zhì)量為Δm=m1-m2，新的研究對(duì)象Δm和新的船M′組成新的人船模型，從而可以方便、快速求解。等效替代法是科學(xué)研究中常用的思維方法，掌握等效替代法及應(yīng)用，體會(huì)物理等效思想的內(nèi)涵，有助于提高考生的科學(xué)素養(yǎng)，初步形成科學(xué)的世界觀和方法論，為終身的學(xué)習(xí)、研究和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

二、“人船模型”變形一

滑塊從光滑水平地面上的斜面滑下，與人船模型類似，滑塊類似于人，小車類似于船，水平方向不受外力作用，水平方向動(dòng)量守恒和系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可以此來(lái)求水平速度以及水平位移。

【例3】如圖3所示，質(zhì)量為M的小車靜止在光滑的水平面上，小車AB段是半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道，BC段是長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點(diǎn)，一質(zhì)量為m的滑塊在小車上從A點(diǎn)由靜止開始沿軌道滑下，然后滑入BC軌道，最后恰好停在C點(diǎn)。已知小車質(zhì)量M=2m，滑塊與軌道BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g滑塊可視為質(zhì)點(diǎn)。則滑塊從A運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中

圖3

( )

【解析】以滑塊和小車為系統(tǒng)，當(dāng)滑塊m下滑的過(guò)程中，水平方向向右運(yùn)動(dòng)，小車向左運(yùn)動(dòng)，滑塊重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的動(dòng)能。滑塊m從A到C過(guò)程中，以向右為正方向，系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒。

設(shè)滑塊相對(duì)地面的位移大小為x，小車相對(duì)地面的位移大小為s，滑塊和小車在水平方向上動(dòng)量守恒。

由人船模型結(jié)論可得0=mx-Ms

x+s=R+L

在滑塊m從A到B過(guò)程中，小車速度一直在增大；滑塊m從B到C過(guò)程中，小車速度一直在減小，故滑塊運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，小車、滑塊速度最大。

滑塊m從A到B過(guò)程中，以水平向右為正，系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。

由水平方向動(dòng)量守恒得0=mv1-Mv2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查“人船模型”的變形——滑塊從光滑圓弧軌道滑下，是水平動(dòng)量守恒和機(jī)械能量守恒定律的共同運(yùn)用。在下滑過(guò)程中，滑塊對(duì)四分之一光滑圓弧軌道做正功，圓弧軌道速度增大，即滑塊的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的總動(dòng)能，要求學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)某跄顟B(tài)，運(yùn)用水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒解題，求出速度大小；通過(guò)類比人船模型尋找兩者位移的幾何關(guān)系，可求出各自位移大小。

【例4】如圖4所示，光滑水平面上有一平板車，車上固定一豎直直桿，桿的最高點(diǎn)O通過(guò)一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩拴接一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球的質(zhì)量與小車質(zhì)量相等，懸點(diǎn)O距離地面的高度為3L，輕繩水平時(shí)，小球與小車速度均為零。釋放小球，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，輕繩斷開，重力加速度為g。(小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與豎直直桿和小車不相撞)求：

圖4

(1)輕繩斷開的瞬間，小球的速度大小；

(2)小球從釋放到落地的過(guò)程中，小車向右移動(dòng)的距離。

【解析】(1)小球下落過(guò)程中，小球與車組成的系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球的速率為v1，小車的速率為v2。

設(shè)小球的速度方向?yàn)檎较颍∏蚝蛙嚨馁|(zhì)量均為m，則由水平方向應(yīng)用動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可得

mv1-mv2=0

(2)小球下落的過(guò)程中，小球向左移動(dòng)的距離為x1，車向右移動(dòng)的距離為x2，則有

mx1-mx2=0

且x1+x2=L

三、“人船模型”變形二

在人船模型中，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律，要注意參考系的選取，沒(méi)有特殊說(shuō)明，一般以地面為參考系，即公式v1、v2、x和s一般都是相對(duì)地面而言的；當(dāng)以其他物體為參考系時(shí)，要注意始末狀態(tài)都應(yīng)保持同一參考系。

【例5】如圖5所示，氣球質(zhì)量為100 kg，載有質(zhì)量為50 kg的人(可以把人看做質(zhì)點(diǎn))，靜止在空中距地面20 m高的地方，氣球下方懸一根質(zhì)量可忽略不計(jì)的繩子，此人想從氣球上沿繩慢慢下滑至地面，為了安全到達(dá)地面，則繩長(zhǎng)至少應(yīng)為

圖5

( )

A.10 m B.30 m C.40 m D.60 m

【解析】人和氣球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)人不動(dòng)時(shí)，氣球也不動(dòng)；當(dāng)人向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，氣球向上運(yùn)動(dòng)，且變化情況一致，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列出等式求解。

人與氣球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)人的速度大小v1i，氣球的速度大小v2i，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，對(duì)人與氣球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，以向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得

m1v1i-m2v2i=0

m1s1-m2s2=0

氣球和人運(yùn)動(dòng)的路程之和為繩子的長(zhǎng)度，則繩子長(zhǎng)度l=s1+s2=30 m，故B正確，ACD錯(cuò)誤。

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】人與氣球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，人向下運(yùn)動(dòng)，氣球向上運(yùn)動(dòng)，人相對(duì)地面向下運(yùn)動(dòng)了20 m，即x人=20 m，而人船模型中則是人相對(duì)船走了一個(gè)船長(zhǎng)，此題中參考系發(fā)生了改變，應(yīng)避免誤用人船模型結(jié)論x人+x船=l。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查動(dòng)量守恒定律參考系的問(wèn)題，關(guān)鍵是找出人和氣球的速度關(guān)系和繩子長(zhǎng)度與運(yùn)動(dòng)路程的關(guān)系。人和氣球組成系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由于初始狀態(tài)人距離地面高度為20 m，以地面為參考系，在人相對(duì)地面向下運(yùn)動(dòng)20 m到達(dá)地面，即x人=20 m.球向上運(yùn)動(dòng)，所以繩長(zhǎng)應(yīng)等于兩者路程之和，而“人船模型”是人相對(duì)船運(yùn)動(dòng)的位移為船長(zhǎng)，故在運(yùn)用“人船模型”及其變式時(shí)應(yīng)注意研究對(duì)象相對(duì)哪一參考系運(yùn)動(dòng)了多少距離；本題中假設(shè)人可以看成質(zhì)點(diǎn)，如果不能看成質(zhì)點(diǎn)，則要考慮其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。

【例6】在光滑的冰面上停著一輛車，車上坐著一個(gè)人，還堆有2個(gè)質(zhì)量均為m的沙袋，車、人及所有沙袋的總質(zhì)量為M。若車上的人每次均將沙袋以相對(duì)于車大小為v的速率向后扔出，則在第2個(gè)沙袋扔出后，車速大小為

( )

【解析】本題是動(dòng)量守恒定律的直接應(yīng)用，分別對(duì)兩次扔沙袋列出系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以地面為參考系。

扔下第一個(gè)沙袋后瞬間，設(shè)車的速度為u1，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒得

0=(M-m)u1+m(-v+u1)

扔下第二個(gè)沙袋后瞬間，設(shè)車的速度為u2，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒得

(M-m)u1=(M-2m)u2+m(-v+u2)

【易錯(cuò)點(diǎn)分析】首先本題車、人及所有沙袋組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以地面為參考系，而題中車上的人每次均將沙袋以相對(duì)于車大小為v的速率向后扔出，應(yīng)先將沙袋相對(duì)于車大小為v的速率轉(zhuǎn)化為相對(duì)于地面的速度，即v袋對(duì)地=v袋對(duì)車+v車對(duì)地，應(yīng)注意速度與速率的區(qū)別；其次應(yīng)同時(shí)考慮速度轉(zhuǎn)換過(guò)程中速度的矢量性和同時(shí)性，即v袋對(duì)車、v車對(duì)地指的是同一時(shí)刻的速度。

【點(diǎn)評(píng)】本題是動(dòng)量守恒定律的一個(gè)典型應(yīng)用，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)換參考系中速度矢量性和同時(shí)性問(wèn)題。動(dòng)量守恒定律一般以地面為參考系，題中車上的人每次均將沙袋以相對(duì)于車大小為v的速率向后扔出，以車的速度為正，應(yīng)先將速率轉(zhuǎn)化成以地面為參考系下的速度，vA對(duì)地=vA對(duì)B+vB對(duì)地，即題中v袋對(duì)地=-v+v車對(duì)地；其次特別要注意動(dòng)量守恒的始末狀態(tài)，相對(duì)車的速度指的是沙袋相對(duì)同一時(shí)刻(即同一狀態(tài))時(shí)車的速度，否則容易造成錯(cuò)選。

人船模型及其變形是動(dòng)量守恒定律的重要運(yùn)用，與機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律的巧妙結(jié)合，使題目變化多樣，學(xué)生應(yīng)緊緊抓住這幾大主線及其使用條件，弄清題中各物理量的物理意義，靈活運(yùn)用物理規(guī)律，許多動(dòng)量守恒問(wèn)題便迎刃而解。