初中數學思想方法教學探究

曾黃淑芳

(福建省漳州市漳州三中 363000)

在培養和提高人的思維能力方面，數學有著其他學科所不可替代的獨特作用，而真正使學生終身受益的是數學思想方法，這也是我們要探究數學思想方法教學的價值所在.

一、初中常見的數學思想方法

1.整體代入的思想方法

有些問題用常規的思路，從局部求解不僅復雜而且還難于解決，要是換個角度從整體思考，反而會使問題化復雜為簡單，化難為易.所以運用整體思想解題可以優化解題思路，簡便解題過程，提高解題的效率.

例1(運用整體代入的思想)已知x2+3x-2=0，求2x3+6x2-4x的值.

分析由x2+3x-2=0得x2+3x=2，所以2x3+6x2-4x=2x(x2+3x-2)=2x(2-2)=0.

本題利用因式分解將式子變形后，再把整式x2+3x看成一個整體，將它的值代入變形后的式子中即可.

2.函數和方程思想方法

用變化的觀點去描述和分析實際問題中的數量關系，建立函數模型，再進一步運用函數的概念和性質使問題得以解決，這就是函數思想.與這種思想方法相銜接的還有方程和不等式等知識.

例2(運用函數和方程思想)某商場銷售一批茶樹菇，經理按市場價格10元千克收購了2000千克茶樹菇存放入冷庫中.據調查近期茶樹菇市場價格每天將上漲0.5元/千克，但平均每天有6千克的茶樹菇會壞掉，且存放每天需要付340元費用，保存天數不能超過120天.

(1)若該商場要獲得22500元的利潤，要存放幾天后出售？

(2)求獲得的最大利潤.

分析(1)設存放x天后出售，依題意得

方程(2000-6x)(10+0.5x)-2000×10-340x=22500，解得x1=150(舍去),x2=50.

(2)設存放x天后出售，出售可獲得利潤w元， 則

w=(2000-6x)(10+0.5x)-2000×10-340x=-3(x-100)2+30000.

所以，當x=100時，w最大值=30000元.

本題是二次函數在銷售問題方面的應用，解決這類型問題的思路通常是先建立二次函數的數學模型，再利用二次函數的性質來求最大(或最小)利潤.

3.分類討論的思想

在研究數學問題時，當條件或結論不確定時，我們應該對研究對象按某個標準進行分類研究，得出每一類的結論，從而得到整個問題的結論.例如我們在中考的壓軸題中常遇到的等腰三角形存在性問題，就要根據所給的條件按角或按邊進行分類討論；還有中考壓軸題中常見的二次函數的純函數問題就經常要以對稱軸為基準來進行分類討論.值得注意的是，分類必須服從如下規則：(1)在同一次分類時，標準必須同一；(2)分類必須不重復且不遺漏.

例3(運用分類討論的思想)已知拋物線y=x2+(2m-1)x-2m(-y=ax2+bx+c

(1)若拋物線過點(0，-3)，試求拋物線的頂點坐標和對稱軸；

(2)試證明：拋物線與直線l必有兩個交點；

(3)若拋物線經過點(x0，-4)，且對于任意實數x，不等式x2+(2m-1)x-2m≥-4都成立； 當k-2≤x≤k時，函數的最小值為2k+1,求直線的解析式.

分析(1)拋物線：y=x2+2x-3=(x+1)2-4，頂點(-1，-4)，對稱軸為：直線x=-1.

(2)拋物線：y=x2+(2m-1)x-2m,

直線：y=(k-1)x+2m-k+2.

x2+(2m-k)x-4m+k-2=0

Δ=(2m-k)2-4(-4m+k-2)= (2m-k)2+16m-4k+8

=(2m-k)2+4(2m-k)+8m+4

=(2m-k+2)2+8m+4.

∵m>-y=ax2+bx+c， (2m-k+2)2≥0,

∴Δ>0，拋物線與直線l必有兩個交點.

(3)依題意可知y最小值=-4

即：y=ax2+bx+c=-4，m=y=ax2+bx+c或m=-y=ax2+bx+c

∵-y=ax2+bx+c

①當k≤-1時，拋物線在k-2≤x≤k上，y隨x增大而減小.此時y最小值=k2+2k-3,∴k2+2k-3=2k+1,解得：k1=2>-1(舍去)，k2=-2.

②當k-2<-1

③當k-2≥-1，即k≥1時，拋物線在k-2≤x≤k上，y=ax2+bx+c隨x的增大而增大，此時y最小值=(k-2)2+2(k-2)-3,(k-2)2+2(k-2)-3=2k+1，解得：k1=2+2y=ax2+bx+c，k2=2-2y=ax2+bx+c<1 (舍去).

綜上所述，直線y=ax2+bx+c：y=-3x+7或y=(1+2y=ax2+bx+c)x+3+2y=ax2+bx+c.

本題的第三步就是以拋物線的對稱軸為基準來進行分類討論，“分類討論”的問題在各地中考試題的壓軸題中十分常見，因為這類試題不僅考查了學生的數學核心素養，更考查了學生思維的深刻性、發散性以及嚴密性等，對中等的學生來講有一定的難度，因此具有選拔性.

4.數形結合的思想

數以形而直觀，形以數而入微.在數學解題中，應該教會學生以數構形，以形思數，這樣不僅可以使抽象的問題變得直觀、易理解，同時也能使課堂更加的形象生動，從而進一步激發了學生的學習興趣，對培養學生思維的形象性與廣闊性有很大的幫助.

例4(運用數形結合的思想)如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象，判斷正確是____.

①a+b+c<0

②a-b+c<0

③2a+b>0

④b2-4ac>0

5.轉化(化歸)的思想方法

所謂(化歸)轉化的思想是指在研究數學問題時，將未解決的問題化歸轉化為已解決的問題，進而使問題得到解決的一種解題策略.化歸與轉化的原則是：將抽象的問題轉化為直觀的問題；將復雜的問題轉化為簡單的問題；以及一般性的問題和特殊的問題的互化.

例如，老師可以由特殊情況“全等三角形對應線段相等”這一性質進行合情推理到相似三角形的性質，這也體現了由特殊向一般轉化的思想，這樣學生在學習時會更容易接受.

二、如何在數學教學中滲透數學思想方法

數學思想方法教學主要采用滲透的方法，教者有意，學者無心，教學中應有的放矢地結合典型例題進行引導滲透，并結合類似練習加以強化和鞏固.讓學生對數學思想方法的感悟達到由淺入深，循序漸進，使學生逐步掌握并自覺地進行運用.

1.把握教材的思想體系，納入教學目標

教師在平時的教學中一定要認真研究大綱，吃透教材，把掌握數學思想方法納入我們的教學目標當中，精心設計到教案中去，在備課時要考慮如何結合教材內容進行滲透.例如在解直角三角形的教學中，我們常會添加的一條輔助線是作三角形的高，這樣可以把一般的三角形轉化為直角三角形，再利用勾股定理和三角函數知識來求解，這當中滲透了由一般到特殊轉化的思想方法，這往往是解題的一個突破口.

2.反復再現，逐漸強化

首先是從模仿開始，學生通過模仿例題以及相同類型習題的解答，實際上就是讓學生機械地運用數學思想方法.遷移不可能經歷一兩次就能實現，需要不斷的重現，反復的強化，才能讓學生有深刻的認識.只有當學生能自主地將它用于新的情境、觸類旁通的時候，才說明學生已掌握了這一數學本質、數學規律.

數學在社會科學各領域都有非常廣泛和重要的應用，學習數學不只是知識的學習，更重要的是方法的學習.只有加強數學思想方法的教學，才能適應課程改革的需求.