“動態圓”給力 挖出臨界特征

江蘇 王永昌

帶電粒子在勻強磁場中的臨界問題是歷年高考的熱點，也是難點。這類運動往往在臨界情景方向出題，臨界情景體現為粒子運動軌跡和磁場邊界間的關系，所以分析出粒子運動軌跡和磁場邊界間的關系是解決此類問題的關鍵。在解題時采用作“動態圓”的方法，往往可以較快地挖掘出臨界特征，下面就進入磁場的帶電粒子的不同情況來說明用“動態圓”挖掘臨界情景的應用。

一、“旋轉的動態圓”給力，挖出速度大小不變而方向不斷改變的帶電粒子在磁場中運動的臨界特征

圖1

【例1】如圖2所示，S為電子射線源，該電子射線源能在圖示紙面360°范圍內向各個方向發射速率相等的質量為m、帶-e的電子，MN是一塊足夠大的豎直擋板且與S的水平距離OS=L，擋板左側充滿垂直紙面向里的勻強磁場。

(1)若電子的發射速率為v0，要使電子一定能經過點O，則磁場的磁感應強度B的條件？

(2)若磁場的磁感應強度為B，要使S發射出的電子能到達擋板，則電子的發射速率多大？

圖2

【解析】電子從點S發出后受到洛倫茲力作用在紙面上做勻速圓周運動，由于粒子從同一點向各個方向發射，粒子的軌跡構成繞S點旋轉的一組動態圓，動態圓的每一個圓都是順時針旋轉，如圖3所示。

圖3

圖4

【點評】當進入磁場的帶電粒子速度大小確定而方向不確定時，先利用“旋轉的動態圓”尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運動的實際軌道半徑R與R0的大小關系確定范圍。

二、“膨脹的動態圓”給力，挖出速度方向不變而大小不斷變化的帶電粒子在磁場中運動的臨界特征

如圖5所示，一束帶負電的粒子以初速度v垂直進入勻強磁場，若初速度v的方向相同，大小不同，所有帶電粒子運動軌跡的圓心都在垂直于初速度的直線上，速度增大，軌道半徑隨著增大，所有粒子的運動軌跡組成一組“膨脹的動態圓”。解決這類問題時，必須注意圓周運動中的對稱規律，按找圓心，畫軌跡，再利用幾何關系求半徑的基本思路進行。

圖5

【例2】如圖6所示，真空中寬為d的區域內有磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，質量m帶電-q的粒子以與CD成θ角的速度v0垂直射入磁場中。要使粒子能從EF射出，則初速度v0應滿足什么條件？EF上有粒子射出的區域？

圖6

【解析】作出一組“膨脹的動態圓”，如圖7所示，當入射速度較小時，電子會在磁場中轉動一段圓弧后又從同一側射出，速率越大，軌道半徑越大；當軌道與邊界相切時，電子恰好不能從右邊界射出；當速率大于這個臨界值時，電子可從右邊界射出，依此畫出臨界軌跡，借助幾何知識即可求解速度的臨界值。對于射出區域，只要找出上下邊界即可。粒子從A點進入磁場后受洛倫茲力做勻速圓周運動，要使粒子能從EF射出，則相應的臨界軌跡必為過點A并與EF相切的軌跡，如圖8所示，作出A、P點速度的垂線相交于O′，即為該臨界軌跡的圓心。

圖7

圖8

由幾何關系可知R0+R0cosθ=d

則臨界半徑為

故粒子能穿出EF的實際運動軌跡半徑R≥R0

【點評】帶電粒子在磁場中以大小不等的速度運動時，圓周運動的半徑隨著速度大小的變化而變化，因此可以將半徑放縮，運用“膨脹的動態圓”探索出臨界點的軌跡，使問題得解。對于范圍型問題，求解時關鍵為尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”，然后利用粒子運動的實際軌道半徑R與R0的大小關系確定范圍。

三、“膨脹的動態圓”給力，挖出速度不變而質量不斷變化的帶電粒子在磁場中運動的臨界特征

【例3】如圖9所示，左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U，兩板之間有勻強磁場，磁場應強度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面向里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區域EFG(EF邊與金屬板垂直)，在此區域內及其邊界上也有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里。假設一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入平行金屬板之間，沿同一方向射出平行金屬板之間的區域，并經EF邊中點H射入磁場區域。不計重力。

圖9

(1)已知這些離子中的離子甲到達磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質量。

圖10

圖11

圖12

【點評】帶電粒子速度大小及方向不變，但帶電粒子的質量不確定，這類情形可等價于帶電粒子速度方向不變、大小改變的情形處理，采用“膨脹的動態圓”探索臨界情況，使問題得到解決。

四、“既脹又旋的動態圓”給力，挖出速度大小和方向均變化的帶電粒子在磁場中運動的臨界特征

圖13

圖14

圖15

【點評】本題也屬于極值類問題，尋求“臨界軌跡”是解題的關鍵。要使所有粒子都不穿越磁場，應保證沿內圓切線方向射出的粒子不穿越磁場，即運動軌跡與內、外圓均相切。