轉換參考系 突破傳送帶二維傳送問題瓶頸

福建 郭 威

傳送帶是高中物理的一個重要模型，對學生受力情景分析、運動情景分析和功能情景分析的能力考查有著很好的示范效果。平時接觸的傳送帶模型一般情況下為物帶同線的一維傳送帶問題，學生對此類問題的分析與處理比較熟悉，但對于二維傳送帶傳送問題的分析與處理卻常常遇到瓶頸，難點在于一維到二維的變化、滑動摩擦力的大小與方向的確定等問題容易出錯。

傳送帶二維傳送問題表現為物體運動的速度方向與傳送帶運動方向不同線的相對運動，由于物塊與傳送帶的動摩擦因數是不變的，物塊對傳送帶的正壓力也是不變的，所以物塊與傳送帶受到的滑動摩擦力大小Ff=μFN也不變，而滑動摩擦力的方向與相對運動的合速度方向相反，所以摩擦力的方向會因為物塊相對傳送帶運動速度方向的變化而變化，從而使傳送帶二維傳送問題的解決變得復雜。由于“滑動摩擦力與相對接觸面的運動方向相反且在同一條直線上”，而一般傳送帶是勻速運動的，若以傳送帶為參考系，這個參考系就是慣性參考系，對于慣性參考系，所有總結出來的力學規律都是相同的，所以解決傳送帶二維傳送問題時，我們可以通過變換參考系，即以傳送帶為參考系來研究問題，突破滑動摩擦力的方向難以確定的瓶頸，使得解決問題的途徑更加簡潔，充分體現過程與方法。

一、物體相對傳送帶做勻速直線運動的二維問題

【試題調研1】如圖1所示，質量為m的長方體物塊放在水平放置的鋼板C上，物塊與鋼板間的動摩擦因數為μ，由于光滑固定導槽A、B的控制，該物塊只能沿水平導槽運動。現使鋼板以速度v1向右勻速運動，同時用水平力F拉動物塊使其以速度v2(v2的方向與v1的方向垂直，沿y軸正方向)沿槽勻速運動，以下說法正確的是

( )

A.若拉力F的方向在第一象限，則其大小一定大于μmg

B.若拉力F的方向在第二象限，則其大小可能小于μmg

圖1

圖2

圖3

【總結反思】因為鋼板是勻速運動的，以鋼板為參考系，根據兩個方向的分速度判斷出物塊相對于鋼板的合速度方向，從而根據“滑動摩擦力是相對于接觸面的運動產生的，且方向與相對運動的方向相反”得出物塊相對鋼板的摩擦力方向，突破了二維傳送的一個難點，從而明確了本題滑動摩擦力的大小與方向是一個不變的力，為解決本題三力動態平衡時“控制滑動摩擦力不變、擋板的彈力方向不變”提供了切入點；同時通過兩分速度與合速度的關系可以得出它們之間的夾角關系，挖掘出求解問題的一個隱含條件。

二、物體相對傳送帶做勻變速直線運動的二維問題

【試題調研2】一貨物傳送裝置如圖4所示，由傾角θ=37°表面粗糙的固定斜槽和足夠寬的水平傳送帶組成，斜槽與傳送帶垂直，末端與傳送帶在同一水平面上且相互靠近。傳送帶以恒定速度v0=3 m/s向前方運動，現將一質量m=1 kg可視為質點的物塊，從距離斜槽底端為s=2 m的頂點A處無初速度釋放，物塊通過斜槽底端銜接處速度大小不變，物塊最終與傳送帶相對靜止。(已知物塊與斜槽間的動摩擦因數μ1=0.25，物塊與傳送帶間的動摩擦因μ2=0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8)試求：

圖4

(1)物塊在斜槽上的運動時間t；

(2)物塊滑上傳送帶時受到的摩擦力大小及方向；

(3)物塊在傳送帶上運動過程的最小動能Ek。

【解題思路】(1)在斜面上對物塊受力分析可知

mgsinθ-μ1mgcosθ=ma1①

聯立①②式得t1=1 s ③

(2)以傳送帶為參考系，俯視圖如圖5所示，物塊剛滑上傳送帶時，v1=a1t1=4 m/s

方向與垂直于傳送帶運動方向的夾角為α=37°

物塊所受的摩擦力大小Ff=μ2mg=5 N

由幾何關系可知，物塊所受摩擦力方向與x軸負方向的夾角也為α=37°角并指向左上方

圖5

(3)以傳送帶為參考系，如圖5所示的直角坐標系中分析可知

水平方向Ff1=Ffcosα=max

豎直方向Ff2=Ffsinα=may

在很小的Δt時間內

Δvx=axΔt

Δvy=ayΔt

v相對的方向與x軸正方向夾角為α=37°

圖6

圖7

物塊相對傳送帶側向進入，是一個二維傳送問題，取地面為參考系，摩擦力的方向與速度的關系不容易如參考答案這樣判斷出來，更談不上如何分析做正功、負功以及什么時候有最小值。而以傳送帶為參考系，物塊沿著x軸和y軸的分加速度作用下同時做勻減速直線運動是比較直觀的，最終物塊相對傳送帶靜止，即對地與傳送帶的速度一樣，較容易分析出物塊相對傳送帶的運動過程，同時也較容易得到物塊相對傳送帶的合速度和滑動摩擦力方向不變這一隱含條件，最后再根據題設要求對地面的最小動能時再轉化為取地面為參考系，基于伽利略變換的速度合成定理，即絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和，采用矢量合成法則求出物塊對地的最小速度，問題就迎刃而解了。

三、物體相對傳送帶做變速直線運動的二維問題

【試題調研3】如圖8甲圖所示，是傳送帶緊貼矩形桌面的俯視示意圖。傳送帶和桌面在同一水平面且都足夠寬、足夠長，傳送帶沿圖示方向運動。abcd是垂直水平面固定的光滑擋板條，ab與cd部分是直的，bc是平滑過渡部分。擋板條ab部分與傳送帶運動方向的夾角為θ。質量為m1的小滑塊A與傳送帶的動摩擦因數為μ，從a點由靜止釋放，最后與靜止在桌面c點、質量為m2的小滑塊B發生彈性正碰。小滑塊A、B均可視為質點，桌面c點左側光滑，右側與小滑塊A、B的動摩擦因數均為μ1，重力加速度為g。

甲

乙

【解題思路】(1)由小滑塊A、B發生彈性正碰可知

m1=3m2③

聯立④⑤⑥⑦解得s1∶s2=1∶9

(2)因A、B最后停在桌面上同一位置，故B碰后的速度與A反彈后從傳送帶滑回桌面的速度相同。

(3)對小滑塊受力分析如圖9所示，因為擋板的作用，以傳送帶為參考系，小滑塊垂直斜面速度保持不變，小滑塊沿斜面向下做減速運動，合速度v0方向發生變化，滑動摩擦力Ff的方向順時針變化，故小滑塊沿斜面向下做初速度v0cosθ且加速度減小的減速運動，因為傳送帶足夠長且足夠寬，故最終小滑塊沿斜面方向速度為零，摩擦力Ff與FN垂直，此時小滑塊相對傳送帶的速度為v0sinθ；

圖9

圖10

物塊從a點由靜止釋放，相對傳送帶相當以速度v0開始運動，由于擋板的作用，物塊之后的運動過程也是一個二維傳送問題，滑動摩擦力的大小不變毋庸置疑，但因為兩個分速度在相等的時間內變化量不同，即兩個分加速度不同，所以滑動摩擦力的方向隨著物塊的運動改變，其方向始終與小滑塊相對于傳送帶的合速度方向相反，最終合速度方向與斜面垂直，即傳送帶對小滑塊的滑動摩擦力最終與Ff2方向重合，以傳送帶為參考系分析運動過程就直觀得多，若以地面為參考系，則整個過程分析就顯得復雜得多。