圓周運動中臨界極值情境與賦值間的關系

安徽 邵 永

物理中的臨界極值問題無論是否出現“恰好”“不脫離”“最大”“至少”等詞語，總會隱去或者部分隱去研究對象的現象，且有一定的變化條件，在變化過程中使得某些物理量達到最大或最小，從一種現象變為另一種現象。這類問題往往具有情景隱蔽、過程復雜的特點，主要考查受力分析、運動分析、功能關系等物理學科主干知識和利用數學知識處理物理問題的能力，做到基礎與能力并重、基礎與素養兼容。在教學過程中把一定的物理模型進行變式分析，或對相同的物理模型給予不同賦值，對其臨界極值情境進行對比分析，均能培養學生的理性思維能力，加深學生對所學知識的深刻理解和應用，針對試題做到有的放矢。

一、水平面內勻速圓周運動中的臨界極值問題

【例1】如圖1所示，A、B、C三個物體放在旋轉圓臺上，它們與圓臺之間的動摩擦因數均為μ，物體A的質量為m，物體B、C的質量均為2m，A、B離軸心距離為R，C離軸心距離為2R，當圓臺旋轉時下列說法中正確的是

( )

圖1

A.在圓臺勻速轉動時，如果三個物體相對圓臺都沒有滑動，則物體C的向心加速度最大

B.在圓臺勻速轉動時，如果三個物體相對圓臺都沒有滑動，則物體B受到的摩擦力最大

D.當圓臺轉速增加時，三個物體發生滑動的先后順序是C、B、A

【變式1】如圖2所示，兩個質量分別為2m和m的小木塊a和b(可視為質點)放在水平圓盤上，木塊a與轉軸OO′的距離為L，木塊b與轉軸OO′的距離為2L，a、b之間用長為L的強度足夠大的輕繩相連，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的μ倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，開始時輕繩剛好伸直但無張力，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是

( )

圖2

A.物體a所受的摩擦力先達到最大靜摩擦力

B.發生滑動前a的摩擦力一直增大，b的摩擦力先增大后不變

【點撥】雖然本題中兩物體之間比例1中多了一根輕繩，在研究對象、受力分析、臨界情形和臨界值等方面有所不同，但實際是例1中知識的應用與延續，因為在繩繃緊之前的分析和結論與例1是完全相同的，物體滑動的先后順序與質量無關、與半徑有關；b受到的摩擦力達到最大靜摩擦力之后輕繩會繃緊，作用在b上的拉力指向圓心且不斷增大，用于補充b的向心力的增加，但作用在a上的拉力是背離圓心的，Ffa=FT+2mω2L，所以a的摩擦力會隨角速度的增大繼續增大，當二者摩擦力都達到最大靜摩擦力之后a、b整體將遠離圓心運動。

【變式2】如圖3所示，用強度足夠大的輕繩連接放在水平圓盤上的兩個相同小木塊a和b(均可視為質點)，a與轉軸OO′的距離為L，b與轉軸OO′的距離為2L，小木塊質量均為m，木塊與圓盤間的動摩擦因數為μ，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，則

( )

A.a與圓盤間的靜摩擦力先達到最大靜摩擦力

B.發生滑動前，a的摩擦力一直增大，b的摩擦力先增大后不變

圖3

【點撥】本題也是例1中知識的應用與延續，雖然從外形來看與變式1十分相似，但摩擦力的變化規律卻不同，原因是兩木塊在轉軸的同側和異側的受力情況不同，當繩繃緊之后變式1中繩對a的拉力方向背離圓心，而變式2中繩對a的拉力方向是指向圓心的。因為受力情況不同，有可能出現不同質量比的變化規律和臨界情形不同。在例1和變式1中木塊之間的質量比不同不影響摩擦力的變化趨勢和極值情境，即例1中木塊滑動的先后順序，變式1中木塊b的摩擦力先達到最大后不變，a的摩擦力繼續增大到最大靜摩擦力之后，兩木塊將遠離圓心運動等方面均與木塊的質量沒有關系；在變式2的模型中，繩繃緊之前，無論兩物體間質量是怎樣的關系，b木塊的摩擦力總是先達到最大值，但是在繩繃緊之后，不同質量比有著不同的變化規律和臨界情形。由向心力公式Fa向=maraω2，Fb向=mbrbω2可以看出隨角速度的增大，兩木塊所需向心力的增加量間的大小關系與質量和半徑的乘積有關，當marambrb時，向心力增加量a大于b，由μmbg+FT=mbω2rb，Ffa+FT=maω2ra聯立得Ffa-μmbg=(mara-mbrb)ω2，由此可得當ω增大時，b所受的摩擦力不變，a所受摩擦力逐漸增大。當a的摩擦力達到最大靜摩擦力之后，b所受摩擦力會逐漸減小到零，然后反向逐漸增大，當b的摩擦力再次達到最大時，a將遠離圓心,b將向圓心運動。上述討論中質量與半徑乘積的大小關系反映的是物體組質心與轉軸的關系，當質心在轉軸上時物體組一定不會滑動，當質心不在轉軸上時最終質心會做離心運動，因此利用質心法很容易確定臨界情境和計算臨界值。

二、豎直面內非勻速圓周運動中的臨界極值問題

圖4

【例2】如圖4所示，一質量為m的小球用長度為L的細線懸掛于O點，已知細線能夠承受的最大張力為7mg，重力加速度為g，在最低點給小球一個初速度，讓小球在豎直平面內繞O點做完整的圓周運動，下列說法正確的是

( )

D.小球通過最高點的最小速度為零

【變式】如圖5所示，質量為M的支架(包含底座)上有一水平細軸，軸上套有一長為L的輕質細線，繩的另一端拴一質量為m(可視為質點)的小球。小球在豎直面內沿圓周運動時能經過最高點，忽略一切阻力，重力加速度為g。則

( )

圖5

A.如果支架始終保持靜止，則小球運動到最低點時底座對地面壓力最大

C.如果支架始終保持靜止，則小球運動過程中地面對底座始終無摩擦力

D.如果支架始終保持靜止，小球運動至右邊與O點等高時，地面對底座的摩擦力向左