關于曲率及其應用的分析

◆摘 ?要：本節探討曲率的概念以及求解方法。結合實例啟發學生理解曲率的基本概念。進一步地，分析這些性質在不同方面和背景下的應用。

◆關鍵詞：曲率;導數;彎曲程度

高等數學是大學新生普遍會開展的一門數學基礎課，其對學生專業課程的學習也有著積極重要的促進作用。然而，較強的邏輯推導和繁雜的公式讓許多學生望而生畏。如何在數學課程的教學中深入淺出地講解重難知識點，形象直觀地處理代數問題，這是本文嘗試探討的主題。

在同濟大學第7版的高等數學中，第三章《微分中值定理與導數的應用》第七節講解了曲率的概念及其計算。在前面的課程中我們介紹了函數的連續性、可導、單調性以及如何求函數的極值。連續性說明了函數是連綿不斷的，可導則反映了函數在某一點處的切線的斜率。從幾何上看，那些可導的曲線，為什么彎曲程度會有很大的不同呢？這就是本節探討的主題。我們在本文中探討如何引導學生運用導數、弧微分等工具來分析曲線的彎曲程度。推導如何利用弧微分來建立曲率的公式，結合具體的例題理解曲率的基本概念以及求解。并且，在實踐中結合問題的背景建立分析求解曲率的模型，運用求導公式等來求解實際問題中的曲率應用。結合這一部分的內容探討高等數學的學習中如何將理論聯系實踐，調動學生的積極性，提高學生學習數學的熱忱與能力。

一、曲率的定義

結合引例的分析引導學生思考曲線彎曲程度問題的提出過程。思考如何用數學的語言將其描述出來，進而運用弧微分工具加以解決。強調對微分基本概念的理解。

u觀察與分析

問題1：結合圖形觀察曲線弧的彎曲程度與什么因素有關？

切線的轉角 弧段的長度

曲線的彎曲程度不僅與切線轉動的角度有關，還與移動的弧長有緊密關聯。結合幾何圖形啟發學生思考如何刻畫一小段弧段上的彎曲程度。怎樣度量平均曲率？

◆曲率的定義

通過曲率的分析與推導過程感受微積分的學習對實踐問題分析的強大作用。理解數學是從生活中提出、發展與不斷創新的學科。

◆曲率圓與曲率半徑

設曲線在點[M]處的曲率為[K]（[K≠0]）. 在曲線凹的一側作一個與曲線相切于[M]且半徑為[1/K ]的圓.稱其為曲線在點[M]處的曲率圓.圓心叫做曲率中心， 半徑叫做曲率半徑.

二、曲率的計算

結合例題的分析幫助學生理解曲率的計算方法。

例題1求半徑為[R]的圓上任一點處的曲率.

解：根據

曲率公式反映了曲線的彎曲程度，是解決現實問題特別是涉及到曲線問題的有力工具。采用特殊到一般的方式展開對曲率計算的分析。思考如何根據弧微分公式來推導與應用曲率公式。

三、曲率的應用

如何結合實際問題的背景運用曲率公式對初學微分的同學們有較高的計算技能與理論理解方面的要求。在這個過程中，涉及到大量的公式推導與計算，所使用的弧微分等微積分思想也比較有難度。不同的問題背景需要不一樣的設計形式，構造方法靈活，對學生的初次學習是一個挑戰。可以適當地引入一些課后思考題幫助學生對曲率的理解與掌握。例如，引導學生探討怎樣利用曲率分析砂輪問題。

思考題：設工件內表面的截線為拋物線 [y=0.4 x2]。現在要用砂輪磨削內表面。

問用直徑多大的砂輪才比較合適？

重點指出曲率公式在刻畫曲線彎曲程度中的重要作用。在引例、例題與課后思考題的分析中啟發學生體會數學的重要作用。學會理解微分的基本思想。

四、總結與拓展

本節探討了曲率的概念與計算。引導學生理解弧微分以及曲率的概念。熟練掌握運用弧微分公式以及曲率公式求解各種曲線的曲率問題。并且，通過結合實際例子讓學生了解到曲率如何定量地反映了曲線的彎曲程度。并且，通過結合實際例子讓學生了解到曲率如何定量地反映了曲線的彎曲程度。培養學生運用弧微分以及曲率公式求解曲率的能力。提高學生合理利用以及選擇數學工具的實踐能力。

參考文獻

[1]左玲.淺談人工智能時代的工科數學教育[J].考試周刊，2018： 1673-8918.

[2]高等數學.第七版上冊.同濟大學數學系[M].高等教育出版社，2018.

[3] Joel Hass，Christopher Heil， Calculus， Pearson， 2003.

[4]Richard Courant， Fritz Jo， Introduction to Calculus and Analysis， Springer，2008.

作者簡介

左玲（1981.08.25—），女，漢，湖北武漢人，博士研究生，副教授，工作年限15年，湖北工業大學，理學院。

基金：湖北工業大學博士啟動基金：BSQD2016046，基于熵的半監督算法理論分析及應用。