方程(組)、不等式與直線的關系問題淺談

涂兵

摘要：一次函數是八年級下冊的內容，是承接函數與函數圖像的重要環節。想要把一次函數與方程（組）及不等式聯系起來，就需要把它的圖像建構，從而輕松解決與方程（組）及不等式的相關問題。

關鍵詞：一次函數；圖像；方程；不等式

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）06-0123

一次函數是人教版八年級下冊第十九章19.2的內容，是承接函數與函數圖像的重要環節，是學生第一次接觸函數與圖像結合的內容、體會數形結合思想。本節內容跨度比較大，需要學生對函數概念有一定理解，對平面直角坐標系的點的坐標表示非常熟悉。

首先說函數。所謂函數，是指在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么y就是x的函數。這里要明確函數的特征：同一個變化過程中的兩個變量；一個變量變化，另一個變量也隨之變化；一個變量每個確定的值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應。其次看點的坐標。平面直角坐標系中，每一個點的坐標是唯一的，都有一個橫坐標和一個縱坐標。只要知道一個點的橫縱坐標，就一定可以在平面直角坐標系中描繪出來。而函數的圖像是通過取一個自變量的值得到一個因變量的值（函數值），以自變量的值作為橫坐標、對應的函數值作為縱坐標，從而構成一個點的坐標，然后在平面直角坐標系內表示出來（即描點），形成這個函數的圖像。對于函數圖像上點的坐標的由來，在今后學習二次函數乃至n次函數圖像都有重要意義。

一次函數是特殊函數，在繪制一次函數圖像時所有的點匯成了一條直線，從而得出一次函數的圖像是一條直線。需要說明的是，一次函數的圖像不是人為地畫成一條直線，而是所有點自然而然地形成一條直線。我們是通過描出一次函數所有的點，發現它的圖像是一條直線，而不是描幾個點、用平滑的線連成的。也就是說，所有圖像上的點都是取一個自變量的值、通過解析式得到一個因變量的值，構成點的橫縱坐標，在平面直角坐標系中描出來的。反過來，圖像上點的橫縱坐標，是這個一次函數一對自變量和相應因變量的值，滿足一次函數解析式。

一次函數圖像的由來必須要弄清楚，是重中之重，否則后續一次函數與一元一次方程、二元一次方程（組）、一元一次不等式的關系，根本理不清頭緒。既然一次函數的圖像是一條直線，根據兩點確定一條直線可知，只要有兩個點的坐標，連接并延長，就能描繪這個一次函數的圖像?？梢钥闯觯淮魏瘮档膱D像比較好畫，對我們解決與一次函數有關的問題是非常有利的。下面讓我們來見識一次函數圖像的妙用。

對于求解二元一次方程組，都可以轉化為求兩個一次函數圖像（即兩條直線）交點坐標問題。例如，解方程組2x-y=1與3x-y=1，可以轉化為，在平面直角坐標系中，求直線y=2x-1與直線y=3x-1的交點坐標。畫出兩條直線，發現交點坐標為（0，-1），即原方程組的解為x=0，y=-1。而解方程組2x-y=1與-2x+y=3時，畫出兩條直線，發現兩直線平行，不可能會有交點，即原方程組無解。

有時在解多道方程（組）及不等式時可以一步到位。按要求解答下列問題：（1）解一元一次方程：①2x-4=0，②x+1=0，③2x-4=x+1；（2）解二元一次方程組y=2x-4與y=x+1；（3）解一元一次不等式：①2x-4>0，②x+1>0；③2x-4>x+1；（4）求一元一次不等式組2x-4>0與x+1>0的解集。

這道題看似有四題七小問，但只要把一次函數y=2x-4和一次函數y=x+1的圖像畫出，解答就成了看圖寫話。畫出一次函數y=2x-4和一次函數y=x+1的圖像。對于此題第（1）小題①②可直接根據一次函數圖像與x軸的交點橫坐標可得①x=2，②x=-1。我們發現第（1）小題③和第（2）小題其實是一樣的，答案都與這兩條直線的交點坐標（③是求橫坐標）有關，立即得出答案：③x=5，（2）x=5，y=6。對于此題第（3）小題①②可直接根據一次函數圖像在x軸上方部分的x取值范圍得①x>2，②x>-1。對于第（2）小題③，根據直線y=2x-4在直線y=x+1上方自變量的取值范圍可得x>5。對于第（4）小題，就是找出一次函數y=2x-4和一次函數y=x+1的圖像都在x軸上方部分自變量的取值范圍，得x>2。

因此，只要是與一次函數、二元一次方程（組）、一元一次方程、一元一次不等式等有關問題，都可以利用一次函數圖像（即直線）來解決。同樣地，一次函數（圖像）的問題，也可以轉化為二元一次方程（組）、一元一次方程、一元一次不等式的問題。

懂得函數圖像如何用坐標表示，圖像代表的意義是什么，是學習一次函數的基礎，通過圖像來理解一次函數的性質，聯系一元一次方程、一元一次不等式（組）、二元一次方程（組），有效避免了復雜的運算過程，更加直觀地感受到時了它們之間的關聯，從而使問題簡化。學會一次函數圖像的應用，對今后的數形結合具有至關重要的作用。數無形不直觀，形無數難入微，這就是數形結合的精髓。

（作者單位：江西省南昌二中昌北校區330000）