中學數學課題式教學概述

沈威 曹廣福

摘要：基于數學課題研究的創造性特征，初步提出中學數學課題式教學，圍繞數學形成的本來面目，讓學生經歷數學“再創造”的過程，發展數學思維能力，提升數學核心素養。中學數學課題式教學的邏輯起點是數學本原，根本動力是問題驅動。其環節設計主要應回答“所教數學內容的數學本原是什么”“學生擁有哪些數學現實和生活經驗”等7個方面的問題。

關鍵詞：課題式教學 數學本原 問題驅動 再創造

中學數學的很多教學方法（模式）主要關注每節課的教學實施，但不關注各章節知識之間聯系的教學處理，造成每節課教學自成一體、相互分裂的局面，缺乏對各章節知識之間統領性問題情境、數學思想、科學價值等的教學設計。這造成學生學到的是碎片化的知識點，沒有掌握與理解這些知識產生背后的重要性、關聯性、統領性。破解上述問題的主要方向是，從教學內容和教學方法兩個方面入手，重構中學數學教學方法（模式）。基于此，初步提出中學數學課題式教學（以下簡稱“課題式教學”）。

一、課題式教學的含義

（一）課題

“課題”一詞來源于科學研究話語體系。科學研究的課題主要分為經驗課題和理論課題。其中，經驗課題研究的目的是揭示、精確描述和認真研究各種現象和過程的不同要素;理論課題研究的目的是根據科學原理和認識方法研究和揭示決定客體形狀、結構、特性的各種原因、聯系和相互關系。在開展理論課題研究時，邏輯認識方法非常重要，利用這一方法可在推理的基礎上解釋各種現象和過程，提出各種假設和猜想，并確定解決的途徑，建構概念、原理與思想等。理論課題研究的特征是創造性。

數學研究的課題屬于理論課題，其研究的目的是揭示數學研究對象間的相互關系，建構數學知識體系或解決現實問題，體現知識價值、思想價值和科學價值。因此，在確定數學研究課題時，要明確課題的形成背景是什么，從課題背景中可以凝練出哪些本原性問題、哪些派生性問題，哪些問題值得研究，為什么要研究這些問題，問題的重要性體現在哪里，解決問題的關鍵是什么，要用到哪些方法，問題是如何被解決的，由此形成了哪些新的數學知識，對數學學科的價值是什么，對科學研究的價值是什么，對技術發展有什么幫助，對社會經濟發展有什么作用等。經過創造性的研究，建構新的數學概念、原理、公式、法則、體系、結構與方法等。

（二）課題式教學

課題式教學以“數學教育是數學的再創造”和“數學教學是數學思維活動的教學”為理念，以數學知識形成的歷史事實及其科學價值、學生的數學現實和生活現實為基礎，把數學內容設計為數學課題，引導學生圍繞促使理論產生的系列問題展開研究，通過問題的發現、提出、分析與解決，完成數學的“再創造”，使得學生掌握數學知識，建構數學認知結構，發展數學思維。

要把數學內容設計為數學課題，教師需要掌握數學知識是如何產生的，源于什么樣的背景，解決了什么樣的問題等。此外，由于學生受到知識面和思維能力的限制，課題式教學過程應由教師主導，甚至主講。在課堂上，教師要引導學生完成三個核心過程：要學什么，為什么要學，怎么學。在教學中，學生可以參與或不參與教師問題的回答，但要保持“火熱的思考”并與教師教學過程進行內在的互動。

二、課題式教學的邏輯起點與根本動力

（一）邏輯起點是數學本原

任何教學方法都有邏輯起點。課題式教學的邏輯起點是什么，是課題式教學設計首要面對的問題。課題式教學與數學課題研究不同：中學數學知識是完全成熟的數學理論體系，其形成的歷史背景與數學問題、蘊含的數學思想和應用的科學價值等均客觀存在，是其得以形成的根據及存在的原因。哲學這樣界定“本原”：“本原意指某種東西的本性得以發端的根據及其存在得以可能的基礎，本原是一種特殊的存在，它的本性在時間中保持不變……本原都是貫穿其中的最具決定性的東西;與本原相比，其他的構成要素顯得微不足道。”據此，把數學知識形成的歷史背景與數學問題、蘊含的數學思想和應用的科學價值等稱為該數學知識的數學本原。

例如，高中數學中的數學歸納法，它的數學本原是什么？華羅庚指出，小孩子學數數，先學會一個、兩個、三個……十、二十、三十……一百，然后學會兩百、三百……一千……，數字從一個一個增長到一段一段增長;接著是飛躍前進，從有限飛躍到無窮，到了某一時候，他說領悟了，會說“我什么數都會數了”。如果沒有這個飛躍，人生有限，數目無窮，就是學一輩子，也學不盡。解釋這個飛躍現象的原理正是數學歸納法。數學歸納法能極有力地幫助我們認識客觀事物，由簡到繁，由有限到無窮。

當數學歸納法抽象為“當n=1時命題正確，假設n=k時命題正確，當n=k+1時命題也正確，則命題對所有自然數n都成立”時，其揭示了對于一個命題，僅僅驗證有限次，即使是千次、萬次，還不能肯定這個命題的一般正確性，必須要“當n=1時命題正確”和“假設n=k時命題正確，當n=k+1時命題也正確”同時成立，缺一不可。

數學歸納法不但能幫助我們“進”，即由有限到無窮，還可以幫助我們“退”，即把一個比較復雜的問題“退”成最簡單、最原始的問題，把這個最簡單、最原始問題想通了、想透了，再用數學歸納法來一個“飛躍”，問題也就迎刃而解了。此外，數學歸納法形成的數學依據是自然數的皮亞諾公理，由此就建立了數學歸納法與自然數性質的關系。

課題研究創造的是學術形態的數學知識。將其轉化為課題式教學時，首先要把學術形態的數學知識形成的數學本原做教育形態化加工，把數學知識的數學本原蘊含的數學思想和科學價值與學生的數學現實和生活經驗相結合，重構出適合學生學習的問題情境。由此可見，課題式教學的邏輯起點是數學知識的數學本原。數學本原對課題式教學的價值在于提供了數學知識產生的真實原因和過程，為數學知識教育形態的“再加工”指明了方向，使教師把數學知識產生過程中經歷的關鍵性步驟融入其教學形態，確保學生經歷數學知識“再創造”的“仿真”過程，而不是憑空捏造。如此周折的目的在于讓學生在數學知識的“再創造”中像數學家創造該知識時那樣思考，與思想對話，包括提出了哪些問題，用到了哪些數學知識、數學思想，做了哪些思辨，思維如何加工知識，甚至走了哪些彎路等。

（二）根本動力是問題驅動

推動人類去認識事物的根本動力是問題。問題是求知的前提、探索的動力。問題起于求知，求知導致探索，探索導致解答，于是知識產生了。數學知識產生的本原情境不一定適合學生，也就需要數學知識的數學本原與學生的數學現實和生活經驗有機結合，重構出揭示數學本原并適合學生的問題情境。教師引導學生圍繞問題情境產生問題，形成概念、原理或理論產生的原始問題，即本原性問題;而在尋求問題解答的過程中，也就是在理論發展的過程中，由于自身矛盾沖突生發新的問題，被稱為派生性問題。本原性問題和派生性問題推動課題式教學深入進行。

例如，華羅庚指出了數學歸納法的數學本原，但不是直接以該數學本原為例展示如何教學的，而是把這個數學本原和學生的生活經驗相結合，重構了一個袋子摸球的問題情境：

從一個袋子里摸出的第一個是紅玻璃球、第二個是紅玻璃球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球時，我們會立刻出現一個猜想：是不是這個袋子里的東西全部是紅玻璃球？但是，當有一次摸出一個白玻璃球時，第一個猜想便失敗了。這時，我們就會出現第二個猜想：是不是袋里的東西全部是玻璃球？但是，當有一次摸出一個木球時，第二個猜想又失敗了。這時，我們又會出現第三個猜想：是不是袋子里的東西全部是球？這個猜想對不對，還必須加以檢驗：要把袋子里的東西全部摸出來，才能見分曉。

由此，華羅庚引出一個問題：袋子里的東西是有限的，總可以把它摸完，由此可以得出一個肯定的結論，但是，如果東西是無窮的，那怎么辦？這個問題就是形成數學歸納法的本原性問題，可據此引出從有限個到無窮個的歸納原理。

當然，不是只能用這個問題情境形成數學歸納法的本原性問題。有教師以多米諾骨牌視頻為問題情境，形成本原性問題：視頻中的多米諾骨牌是有限的，可以看到能否全部倒下，但是，如果多米諾骨牌是無窮的，那它們都能倒下嗎？要讓多米諾骨牌都倒下，需要什么條件？

在獲得數學歸納法之后，再在數學歸納法的基礎上提出“若n不是從1開始的，而是從k0開始的，數學歸納法還正確嗎？”“假設當n=k時命題成立，那么n=k+2時命題成立嗎？”等派生性問題，不斷完善數學歸納法的知識體系。

由問題驅動形成的探究動機，推動著學生數學概念與原理的生成，從無知到有知，從少知到多知，從未知到已知，讓學生經歷數學發展的“再創造”過程，善于觀察各種生活現象，并透過這些現象發現有規律的知識，形成數學思想，進而發展發現和提出問題的洞察力、分析和解決問題的思考力。

三、課題式教學的基本環節

確立課題式教學的邏輯起點與根本動力后，就要設計切實可行的教學環節，為把課題式教學落到實處提供依據。課題式教學的設計是一個有目的、有結構、有順序、有層次的方法論體系，要解決如何使課題式教學更貼切體現“再創造”的數學教育思想的問題。具體的環節設計主要應回答以下7個方面的問題：

1.所教數學內容的數學本原是什么？德國哲學家、教育家卡爾·雅斯貝爾斯指出：“教育的關鍵全在于選擇完善的教育內容，盡可能使學生之‘思導向事物的本原，而不誤入歧途。”數學本原包括數學內容是如何產生的，產生的真實原因是什么，經歷了哪些標志性過程，出現了哪些轉折，新出現的問題屬于什么轉折，問題的解決帶來了哪些科學價值，蘊含著哪些數學思想等，需要教師深入了解數學知識產生的歷史背景與科學價值，以及課程在發生、發展過程中面臨什么樣的問題。這是決定課題式教學成敗的關鍵。

2.學生擁有哪些數學現實和生活經驗？包括學生已經掌握了哪些數學概念、性質、定理、公式、法則、思想與方法，具備了怎樣的觀察能力、猜想能力、歸納能力、演繹能力、直覺能力等，在日常生活中使用了哪些學習工具、娛樂玩具等，具備了怎樣的操作與理解科學知識以及分析與解決問題的能力等。

3.基于數學本原和學生數學現實與生活經驗應重構什么樣的問題情境？問題情境是數學知識產生的根本原因，因此，問題情境要蘊含數學知識形成的數學本原或科學價值。此外，問題情境還要適應學生的數學現實和生活經驗，反映概念與定理產生與發展的必然，因此，重構的問題情境要具有統領性，揭示數學內容的本質，應是一系列內容形成的基礎。超出學生數學現實或生活經驗的問題情境必然讓學生難以理解，會增加他們思考的負擔，影響學習的有效開展。

4.從問題情境中引出的本原性問題是什么？派生性問題是什么？事實上，本原性問題和派生性問題并不是此時才去挖掘的，而應是在弄清數學本原時就已經明確的，此時只不過是確認何時把本原性問題和派生性問題從問題情境中引導出來，判斷由本原性問題和派生性問題可以形成哪些章節內容。但是，這樣的環節必不可少，是連接問題情境與學生“再創造”的核心載體——缺少它們，學生的“再創造”就無從談起。

5.為什么要研究這些問題，它們的重要性體現在哪里？探究某一內容必然有其必要性，教師要挖掘出探究這一內容的根本原因，即其重要性體現在哪些方面，有什么數學價值，有什么科學價值，對數學問題的解決有什么幫助，對培養學生的數學核心素養有什么作用。

6.解決這些問題的關鍵是什么？包括如何研究所確定的本原性問題和派生性問題，研究這些問題需要哪些概念、性質、定理、公式、思想、方法等，如何運用它們解決問題，解決問題的每一步是怎么想到的，運用了哪些數學工具，這些數學工具是如何想到的，其數學關系是如何轉換的，需要用到哪些思維操作，這些思維操作對解決問題能起到哪些關鍵作用等。

7.解決這些問題能夠帶來什么？包括通過問題解決建構的知識對數學內容體系的完善有什么價值;對其他學科和社會經濟發展有什么價值;對學生的觀察、實驗、想象、直覺、猜想、檢驗、反駁等科學研究方法訓練有什么幫助;對學生的歸納、演繹、聚合、發散等思維能力，邏輯、形象和直覺等思維方式，創新意識和創新能力等的提升有什么價值;對數學核心素養的培養與立德樹人根本任務的落實有什么作用。

解決上述7個問題之后，便可以設計課題式教學的架構。教師在教學伊始，要從宏觀層面對相關內容產生的背景及其數學價值、科學價值做出明確說明。之后，可展示設計好的具有統領性的問題情境，啟發與引導學生根據問題情境從無到有地凝練本原性問題和派生性問題。教師可以先讓學生從中提出問題，然后根據學生所提問題做出進一步引導。如果學生所提問題就是本原性問題，教師可以引導學生繼續研究;如果學生所提問題不是本原性問題，教師需要進一步將學生導向本原性問題;如果學生想不到，教師可以自己提出本原性問題，由此形成一個宏觀課題。而后，教師要引導學生分析如何解決本原性問題，進一步引出一系列派生性問題，由此形成一系列子課題——每一個子課題就形成一個章節，也就形成了數學內容各章節的學習任務。每一章節之間既具有相對獨立性，又相互有著邏輯關系，表現出邏輯環環相扣，內容層層遞進。

在每一章節的教學過程中，教師可以啟發、引導學生思考，但是學生思維能力和知識儲備等因素決定了學生很難獨立發現和提出問題、分析問題和解決問題，決定了課堂教學要以教師講解示范為主，向學生展示如何發現、提出問題，如何尋找解決問題的方法，遇到困難時如何調整解決思路，如何評估解題思路，這些思路是如何想到的等。通過教師的示范引導，讓學生親身體會思維深處蘊含的數學思想，培養學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力。每一章節的教學都要回答幾乎同樣的4個問題：課題的意義是什么？其在課程中的地位是什么？需要解決哪些問題？解決問題的途徑是什么？回答完這4個問題后，便可順利進入下一章節的學習。整個課程的教學如同一個大課題被分解為若干個子課題，層層推進。完成整個研究過程后，課題研究也就完成了，課程的教學任務便隨之完成。

總之，課題式教學在尊重數學本原的基礎上，從宏觀、中觀到微觀層面對數學教學內容進行課題式研究的重構，把教學過程當成科研過程。“其初難知”決定了課題式教學需要教師投入足夠的精力，充分把握數學教學內容的發生過程，熟悉數學史，從中找出或通過合情推理梳理出數學理論產生的根源。此外，教師要具備科學研究的經驗，才能真正做到把教學過程當成科研過程。綜合運用講授式、啟發式、探究式等教學方法中的有效做法，使學生真正經歷數學“再創造”的過程，發展數學思維能力，提升數學核心素養。

本文系廣東省教育科學規劃項目“數學教師實踐性知識及其教學表現研究”（編號：2018GXJK184）的階段性研究成果。

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