基于運算素養(yǎng)下的橢圓標準方程的推導*

福建省南安第一中學 (362300) 洪麗敏

數(shù)學運算是數(shù)學課堂上重要的教學活動之一，創(chuàng)造性的數(shù)學思維就是通過數(shù)學運算得以發(fā)展的.正如羅增儒等人在《數(shù)學教學論》中指出的：運算能力是數(shù)學教學所要培養(yǎng)的最基礎(chǔ)能力，可以說只要數(shù)學存在，問題就存在，數(shù)學運算就存在.

數(shù)學運算素養(yǎng)是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果等.具體而言，數(shù)學運算包括“算什么”、“如何算”、“依何算”三要素.從解決問題的角度看，知道“算什么”是第一位的，否則一切都無從談起；從發(fā)展人的智能看，懂得“如何算”至關(guān)重要，否則會走很多彎路；從問題解決的結(jié)果看，“依何算”也是十分重要的，否則所有運算都將白忙活.

本文，筆者基于“算什么”、“如何算”、“依何算”三要素，以人教A版選修2-1中橢圓標準方程的推導為例，談?wù)務(wù)n堂教學中怎樣落實運算素養(yǎng)的培養(yǎng)，力求“窺一斑而知全豹”.

1.算什么？

“算什么”，即要“理解運算對象”，就是要明確問題解決的對象，知道問題解決的方向.

圖1

(節(jié)選)師：由上面……，我們得到平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和為等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡為橢圓．

師：剛才好幾個同學曾說“扁圓”是橢圓，那么生活中的“扁圓”一定是橢圓嗎？如圖1，殘缺的曲線如何判斷它是否屬于橢圓的一部分？

生：眾說紛紜.

生形成共識：需要將橢圓數(shù)量化，用數(shù)據(jù)說話.

【算什么】此時學生已明確運算對象：如何研究橢圓的標準方程.

不失一般性，可先研究焦點在x軸上的橢圓的標準方程.

2.如何算？

“如何算”，就是“厘清算的思路”，包括探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序.

首先是設(shè)計運算程序，按照求動點軌跡方程的五步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、說明，依次序進行.

其次是探究運算思路，具體到各個步驟，運算的具體實施.

①建系設(shè)點：如何建系能使方程更簡潔？類比圓的方程，觀察橢圓的幾何特征，利用橢圓的對稱性建系.同時為了簡化運算，設(shè)焦距|F1F2|為2c(c>0)，距離之和為2a．以直線F1F2為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，設(shè)M(x,y)為橢圓上任意一點;

②動點M滿足的條件:|MF1|+|MF2|=2a；

④化簡：化簡橢圓方程是教學難點，涉及運算方法的選擇及“依何算”，兩者互為滲透.

3.依何算？

“依何算”就是“明確算的依據(jù)、明白算理”，包括掌握運算法則、求得運算結(jié)果.

【運算思考】①為什么令a2-c2=b2，教學中不可強加給學生，可從“類比圓的方程”或從“方程的對稱美”或從“優(yōu)化運算”等角度加以闡述，要讓學生在欣賞之中，理解“數(shù)學是合理自然的”；

②教學中，我們也可以從運算的角度對化簡過程進行適度的探究，比如：

我們看到，基于運算角度對化簡過程的適度探究，使得例題的呈現(xiàn)水到渠成.

【運算思考】教材為什么要采用方案二，主要原因有二，一是這種計算思想不僅符合學生的認識水平，而且相對方案一更為優(yōu)化；二是不僅保留了方案一的兩種探究，而且還可以得到新的探究，比如：

可見，教材的推導方法不僅迎合學生的認知水平，而且注重培養(yǎng)學生的“優(yōu)化意識”，還給廣大的師生給予進一步拓展的空間，且與教材的例題(橢圓的其他定義和重要性質(zhì))遙相呼應(yīng).

【算理依據(jù)2】類比等差數(shù)列的性質(zhì)，可構(gòu)造等差數(shù)列.

【算理依據(jù)3】解析幾何解題，畫圖是關(guān)鍵，可結(jié)合圖形，利用平幾知識求解.

圖2

方案六：考慮△PF1F2中，|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，可用余弦定理.

數(shù)學運算是演繹推理的重要形式，是得到數(shù)學結(jié)果的重要手段.數(shù)學運算的培養(yǎng)功在平時，不可急功近利.因此，教師應(yīng)以課本為載體，立足課堂教學，落實數(shù)學運算的培養(yǎng).特別地，“計算繁瑣”常會使解析幾何的教學、問題解決不盡人意.因此在解析幾何教學中，教師可以不拘泥于教材的解法，從“算什么”、“如何算”、“依何算”三步驟，并可基于運算進行適度探究……讓學生明白算理，合理“優(yōu)化運算”，最終實現(xiàn)運算能力的提升.