例析正負相間數列的求和問題

山東省威海市第二中學 (264200) 燕 潤

若數列的通項公式中含有(-1)n，則是一個正負相間的數列，關于它的求和問題需要對自然數n分為奇數或偶數等情況來討論解決．但何時進行分類，還需根據題目的特點擇機而行.下面從幾類典型題目的評析入手，介紹其求解方案，希望能給讀者朋友帶來點收獲．

一、求有限項的和

雖然是有限項，但不易采用逐一求出每一項的值后再求和，也不是簡單的進行正負項處理能夠解決的，大多情況下，都是需要通過特值驗算找出特點，發現規律，抓住這些特點解題．

例1 已知函數f(n)=(-1)n+1n2(n∈N*)，且an=f(n)+f(n+1)，則a1+a2+a3+…+a100等于.

解析：由題意得a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-1+101=100.

評注：通過對前100項和的分析發現每相鄰兩項都是平方差，通過應用公式化簡再分類后發現是兩組有規律的數分別求和，這就找到了解題的關鍵．由于是求特殊項的和，還需對特別的項如首項、末項的情況進行重點關注．

例2 數列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則{an}的前60項和為.

評注：由于本題的內在規律非常隱蔽，通過對三個連續的四項進行求值驗算，終于發現其中隱含著一個等差數列，這樣只需運用等差數列的求和公式解題就行了．

二、求前2n項和

由已知條件或遞推公式求出通項公式是解決此類問題的前提．在求出數列的通項公式后，需要把握好前后兩項和的特點，再找出規律解決問題．

評注：首先根據已知條件求出了數列的通項公式，抓住題目中有2n項的特點，充分利用了(-1)n的特殊性，通過相鄰兩項的重新分組，找到了一個新數列的求和問題，這樣完成解題就順理成章．

(2)根據{an}的關系式及遞推式可求得a1=

評注：本題也是求一個數列的前2n項和問題，但無法直接求出數列的通項公式，而通過求出-a2n-1+a2n關于n的表達式，然后再尋找其中規律成功地達到解題目的.找到相鄰兩項的關系式就是抓住了數列的前2n項求和問題的特點．

三、求前n項和

此類問題相比較求前2n項求和要復雜一些，其解法也可能與之不同.常規的方法是先對n為偶數時進行求和運算，然后再尋找n為奇數時它的前n-1項和與n為偶數時的關系得到表達式，再加上n項就是n為奇數時的表達式，最后再列出綜合表達式．還可以是通過對n為偶數時及n為奇數時分別就其特點求出表達式．

例5 已知數列{an}的通項公式為an=(-1)n-1·(4n-3)，求它的前n項和Sn．

評注：由于題中所給的數列是一個正負相間的數列，每兩項的符號規律是一致的，所以通過對幾組兩個相鄰兩項的和進行驗證，就能發現規律，迅速解題．在此求和時是對自然數n分偶數、奇數討論，分別列式求和，然后再合并呈現出前n項和Sn的表達式．

評注：此題采取的求解方法是先求出n為偶數時和的表達式，而當n為奇數時，則前n-1項和可仿照前面n為偶數時的求和，然后再加上最后的第n項就得到n為奇數時的表達式了．這個解題方法也是常用，而處理好n-1時與n時的關系是解題關鍵．