例析利用切線放縮法巧解函數不等式問題

廣東省汕頭市澄海華僑中學 (516007) 潘敬貞山東省濱州市鄒平縣黃山中學 (256200) 韓景崗廣東省汕頭市澄海中學 (515800) 陳煥濤

評注：本題的第(2)問利用切線放縮法進行放縮，問題的解答過程簡潔，思路清晰、自然.但在函數y=ex-1的x=1處取切點，然后得切線方程y=x，從而可得不等式ex-1≥x成為本題利用切線放縮法解決問題的關鍵.

評注：本題的第(2)問的求解其關鍵是在函數y=ex+1的x=-1處取切點，然后得切線方程y=x+2，從而得不等式ex+1≥x+2，后面問題的解決就相對比較順利.

評注：當題目同時出現ex與lnx時，我們可以根據題意對ex或lnx進行切線放縮，本題的第(2)問就如此，既可以對ex進行切線放縮也可以對lnx進行切線放縮，都可以順利解決問題.

評注：本題的求解過程較為復雜，難度較大，但切線放縮法在簡化解答過程，化解思維痛點等起到了很重要的作用.

評注：本題的第(2)問利用切線放縮法可得到一個新的常規函數，然后再對其求最小值即可解決問題，但需要注意兩次等號不能同時取到才保證了最后的等號取不到.

雖然說切線放縮法并不是萬能，但是在解有關函數不等式問題時，當題目中的函數解析式含有ex或lnx的四則運算時，就可以考慮利用切線放縮法對問題進行處理、求解.利用切線放縮法解有關函數不等式問題可以有效突破解題智慧點，化解思維痛點，簡化解題過程，提高解題效率.在利用切線放縮法對問題進行求解的過程中，其最關鍵是根據題意尋找到合適的切點，從而得出合適的切線，然后利用切線放縮法有效的將問題轉化為較為常規、簡單的問題進行解答，最后巧妙的將問題解決.因此，在日常學習過程中，要引導學生勤于思考，多動手實踐，提升數學思維水平，積累數學活動經驗等，對促進學生數學能力的提升，發展數學核心素養水平大有裨益.