一道地中海地區數學奧林匹克試題推廣
——兼論一個條件的多余
2020-11-20 05:50:12江蘇省姜堰中等專業學校225500
中學數學研究(江西) 2020年11期
江蘇省姜堰中等專業學校 (225500) 陳 宇
證明:首先，點P,R最多只有一個在邊AB,AC延長線上，且點P不與A重合.因為若重合，則∠PEA=∠B=0.不合題意.同理，R不與A重合.
若AB≤AC,由題設知∠AEC>∠ABF≥∠ACB.則邊AC上必存在點R(不與C重合)，使得∠AER=∠C.
進而，點P在邊AB上的位置不外乎：
圖1
圖2
圖3
若AB>AC，則點P在邊AB上(不與A,B重合).R在邊AC上的位置亦如上述點P的位置.
上述證明，只用一次四點共圓(正是這一步驟，得以讓我們發現一個題設條件的多余)，然后借助三角形相似推得所需結論.其余必要過程與文[1]相同.
當點P,R分別在邊AB,AC上，且滿足題設條件時(如圖1)，即為原賽題.
