基于核心素養問題設計的三個原則
——以利用待定系數法求多項式最值問題設計為例

浙江省寧波市北侖中學 (315800) 毛浙東

史寧中教授認為，數學教育應當遵循的一個原則是設計并且實施合理的教學活動.眾所周知，問題是數學的心臟，因此在課堂教學中，教師如何設計例題就顯得非常關鍵.不同的例題承載著不同的育人功能，教師通過合理的例題設計，進行有針對性的教學，能有效培育學生的數學核心素養.

高中階段的數學核心素養包括六個要素，其中最為重要的有三個：抽象、推理和模型【1】.發展學生的數學核心素養，有助于學生學會用數學的語言表達世界，用數學的思維分析世界，用數學的眼光觀察世界.下面筆者就以“利用待定系數法求多項式最值”這堂課為例，從核心素養的維度，來談談課堂中問題設計的三個原則.

1 核心素養的三個維度

1.1 維度一：用數學的語言表述問題——讓學生學會建立模型

數學的語言就是數學模型，數學模型構建了數學與現實世界的橋梁，為了更好地培育學生用數學的語言表達世界的能力，教師應當在課堂中設計一些能指向數學建模能力培育的例題，培養學生舉一反三的能力，完善學生知識和方法在腦海中的建構.

問題1 若x,y,z∈(0,+∞)，且4x+5y+8z=30，求8x2+15y2+48z2的最小值.

1.2 維度二：用數學的思維思考問題——讓學生學會邏輯推理

用數學的思維思考問題，也就是進行邏輯推理，它體現了數學的另外一個重要的特征——嚴謹性.為了培育學生的邏輯推理能力，教師在進行例題設計時，需要給學生適當增加“障礙”，讓學生必須先通過推理和分析，選擇出最優的模型，有時甚至需要多次綜合運用不同的模型，才能解決問題，這是一種更高級的要求.

問題2 已知正實數x,y,z滿足x2+y2+z2=1，求xz+xy+2yz的最大值.

分析：觀察題目結構，初步確定可以選擇基本不等式這個模型來解決，但是對題目的數據進行仔細分析后，我們發現需要多次運用基本不等式才能順利求解.

1.3 維度三：用數學的眼光看問題——讓學生學會數學抽象

抽象是數學最重要的一個特征.讓學生學會剝離原題的數學情境，進行數學抽象，是數學最基本的“童子功”，只有練好了這個“童子功”，我們才能學會用數學的眼光看問題，用數學的眼光洞察這大千世界.當然，在數學的抽象過程中，適當的等價轉化是不可或缺的，因為這能讓我們更好地看清問題的實質，從而成功地實現數學抽象.

問題3 已知函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)，若存在實數a∈[1,2]，對任意的x∈[1,2]，都有f(x)≤1，則7b+5c的最大值為.

2 基于核心素養的問題鏈設計的三個原則

2.1 原則一:問題設計要有明確的素養指向性

基于核心素養的問題設計要有明確的核心素養培育的指向性.正所謂“有的”才能“放矢”，教師在課堂例題設計時要特別關注例題設計的目的，即關注如何通過例題教學來有效提升學生的不同數學核心素養.因為不同的問題對學生素養培育的側重會有所不同，因此我們在設計問題時，應當先明確這堂課重點要培育學生哪方面的素養，然后根據這個目標來設計例題，讓每個問題都有明確的指向性.具有明確指向性的問題設計，能有效驅動、引領學生學習，也能避免重復地、機械地在課堂中進行滿堂灌，讓課堂更從容，也更具有厚度和底蘊.

2.2 原則二:問題設計要有合理的層次梯度性

問題的設計需要遵循梯度性原則.行為主義認為，學習是刺激與反應的聯結，是有機體在接受外界的刺激后做出相應的反應，是反應的強化和經驗的獲得，而帶有梯度性的問題有助于學生可持續注意力的激發，能提升學生的學習效能.同時，這種循序漸進的做法也遵循了學生的認知規律，讓學生的能力在課堂中不斷螺旋上升.

比如在上述案例中，因為問題1直接利用柯西不等式的模型即可解決，是最簡單的建模思想的運用，因此也是最淺層的設計，作為第一道例題是恰當的.而問題2則需要多次運用基本不等式的模型才能解決，這個過程需要一定的邏輯分析，因此問題2的層級是高于問題1的.而問題3的情境更復雜，需要先進行數學抽象，才能進行模式識別和模型建構，因為問題的難度更高，因此將其作為第三道例題.這種由淺入深，環環相扣，帶有梯度性的問題設計從不同的維度培養了學生的數學核心素養.

2.3 原則三:問題設計要有緊密的內在關聯性

維果茨基認為，在學生的“最近發展區”展開教學，更能加速學生的發展.具有前后關聯的例題串就是在學生的近發展區中設置的一個個補給站，讓學生通過不斷地補充“能量”，從而能到達更遠的目的地.因此具有前后關聯性的例題鏈對學生學習的推動性是遠遠大于“各自為戰”的例題鏈的.

另一個方面，雖然每一個數學核心素養都有自身的獨立性，在學習數學的過程中，在發現與提出、分析與解決數學問題和實際問題中，各自在不同的環節發揮不同的作用，但我們更需要強調整體性，六個核心素養是一個有機聯系的整體，它們不是兩兩“不交”的獨立素養，而是相互“交著”相互“滲透”的【2】.既然各個核心素養本身就是相互“交著”與“滲透”的，那我們有什么理由不在問題設計時關注一下問題的前后關聯性，讓問題之間也能做到相互“交著”與“滲透”呢？

例如，在本案例中，我們就選擇了非常“緊湊”的三個問題，圍繞同一個中心和同一種方法進行設計，問題之間前后關聯，你中有我，我中有你.這三個問題都圍繞一個中心問題——“求多項式的最值”來展開，采用的核心方法也是一致的，都是利用待定系數法來解決，同時三個問題都滲透了數學建模的思想，它們組成了一個有機的整體.正因為問題的設計注重了其內在的關聯，學生對知識和方法的理解更加深刻，核心素養的培育也更加有效.