探究高考試題 再談解幾知識本質
——以2020年北京高考解幾題為例

北京市第八十中學 (100102) 孫世林

2020年是北京市實施新高考的第一年，數學試卷實施文理合卷，與去年相比，在試卷結構、分數設置等方面有較大調整，解析幾何考題是倒數第二道大題，這道題綜合性強，對考生能否取得理想成績起到了至關重要的作用；這道題“入口易、思路寬、深入繁、出口難”，大部分考生看到題的第一感覺似曾相識，感覺有思路，但大部分考生做的不理想，究其原因是對解析幾何知識本質理解的不到位，下面借助本題解法的探究，再談解析幾何的知識本質.

一、試題再現

圖1

(I)求橢圓方程；

二、解法探究

1.回歸知識本質，強化代數運算

解析幾何知識的本質是用代數的方法研究幾何問題，將題目中的幾何量用恰當的代數形式表示，然后對代數運算的結論給出幾何解釋，最終得出幾何結論.可見，在解決解析幾何問題時，代數運算是必不可少的，要想順利解決解析幾何問題要重視代數運算，注意必要的運算技巧的運用，我們看解法1.

點評：本題探究直線l運動變化過程中，線段PB,BQ長度的比是定值，解題時我們從運動變化的根源入手，設出幾何元素直線l的方程，將幾何量線段PB,BQ長度，表示為直線l的斜率k的代數形式，然后用代數推理說明兩個代數式的比值為定值，從而說明線段PB,BQ長度的比是定值，這種解法恰恰體現了解析幾何的知識本質，即用代數的方法研究幾何問題，在這個過程中，代數運算是必須經歷的過程.對于其中比較繁瑣的代數運算，我們需要探究代數式的特點，積累常見的運算技巧，提高關于計算能力.

2.從特例入手明確方向，簡化代數運算

3.探究幾何特征，提升數學素養

解析幾何知識本質是用代數的方法探究幾何圖形中蘊含的規律和性質，所以說解析幾何問題首先是幾何問題，既然是幾何問題，我們能否首先從幾何的角度，探究幾何圖形中的幾何量間存在怎樣的幾何關系，平面幾何相關知識告訴我們，求線段長度的比可以聯想到平行線分線段成比例，所以可以構造平行線，通過相似比尋求相關幾何量存在的幾何關系，我們看解法3

圖2

點評：在解決解析幾何問題過程中，要經歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉換，本解法通過構造平行線尋求本題中相關線段間的幾何特征，接著將這個幾何特征用恰當的代數形式表示，得出代數結論，再利用這個代數結論求出本題的結果，此解法突出了平面幾何知識的應用，起到了優化運算的作用.

三、反思

圓錐曲線是幾何圖形，其中蘊含了一系列的幾何關系，怎樣才能發現并證明幾何圖形中的幾何關系，著名數學家笛卡爾引出了“解析法”，其本質是用代數的方法研究幾何.在解決解析幾何問題時，要借助平面直角坐標系，將平面內的“點”與“數對”、直線(或曲線)與方程之間建立一一對應的關系，要深入探究什么樣的代數形式表示題目中的幾何關系更恰當，接下來通過代數運算得出代數結論，再將代數結論回歸成幾何結論，從而實現對幾何圖形的研究．

在解決解析幾何問題中常存在繁瑣、冗長的代數運算，考試中許多考生因為不能順利進行代數運算而導致失敗；高中數學課程中明確提出應注意提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一，其中運算求解、數據處理能力就是數學思維能力的具體體現，考綱中也明確提出了考查學生的運算求解能力和數據處理能力的具體要求，所以要注意對算法、算理的研究，積累代數變換的常見方法和必備的計算技巧，同時要深入探究“形”的特征，充分利用定義、形的特征簡化運算，用信心、耐心和韌性解決好解析幾何問題.