樹立主線思維 例談平面向量復習

廣東省深圳市高級中學 (518040) 高 軍

在平面向量高考復習過程中，樹立主線思維，構建平面向量知識網絡結構，形成數學解題基本思想方法和積累數學活動經驗，進而在學習數學和應用數學這兩個過程中發展數學學科核心素養.

1 問題呈現及變式探究

問題已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

分析：本試題是2020年我校高三一道數學理科調研試題，題干簡潔，解法多樣，內涵豐富.主要考查向量的線性運算與坐標運算，考查學生邏輯推理和數學運算核心素養.因為向量具有代數與幾何的雙重身份，所以問題的解決可以從這兩條主線切入.

圖1

評注：(1)向量融數與形于一體，在解決問題時，基底法與圖形法從形(幾何)的角度切入，坐標法與不等式法從數(代數)的角度展開.(2)從另外角度探究問題，由平行四邊形性質易得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10，設|a+b|=x，|a-b|=y，故原問題可轉化為：

已知x2+y2=10(其中1≤x≤3，1≤y≤3)，求x+y的最值.這是我們非常熟悉的問題，有多種方法解決.

由此得到下列變式題，讀者不妨試一試.

變式2 已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|-|a-b|的最小值是，最大值是.(答案：-2，2)

變式3 已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|·|a-b|的最小值是，最大值是.(答案：3，5)

2 復習思考

2.1 以代數與幾何為主線，構建基礎知識網絡體系

在高三平面向量復習過程中，以代數與幾何為主線構建平面向量知識網絡體系，把握住“一組概念、兩條主線、三個定理、四種運算、五類運用”，有利于學生更全面、系統掌握平面向量知識間的內在聯系，也有利于培養學生主動學習、知識建構的能力.一組概念即向量、向量的模、零向量、單位向量、相等向量等向量基本概念；兩條主線是指向量的幾何和代數兩種思維視角.三個定理指的是平面向量基本定理、共線向理定理、三點共線定理.四種運算指的是兩向量的加法、減法、數乘、數量積.五類運用是指從代數與幾何的視角來解決兩向量的垂直、平行、向量的模、夾角、投影等五類問題.

2.2 以代數與幾何為主線，形成平面向量基本解題方法

縱觀近幾年的高考試題，平面向量試題以客觀題居多，考查內容聚焦平面向量基本概念與運算、平面向量的最值問題.另外，平面向量在三角函數、解析幾何、函數不等式、立體幾何等知識模塊均有滲透，體現其工具性和思想性.

2.2.1 平面向量基本概念及其運算

圖2

評注：平面向量的數量積是平面向量問題中的重點之一，基底法與坐標法是解決問題的通性通法.同時利用數量積可以解決與長度、角度、平行、垂直、投影等相關的問題.

2.2.2 平面向量中的最值問題

例2 已知向量a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|最大值是.

圖3

圖4

解析：如圖4所示，由題意得O，A，B，C四點共圓，當OC為圓的直徑時，則|c|取最大值為|OC|=2|OA|=2.

變式2已知平面向量a，b滿足|a|=|b|=2，若存在單位向量c，使得(a-c)·(b-c)=0，則|a-b|的取值范圍是.

圖5

變式3 若a，b，c均為單位向量，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，則|a+b-c|的最大值為.

圖6

評注：平面向量中的最值與范圍問題是熱點與難點問題.此類問題綜合性強，對思維能力要求較高.通常有兩種思路：一是“數化”即利用平面向量坐標運算，建立變量的函數解析式，將問題轉化為函數的最值與范圍問題.二是“形化”即利用平面向量幾何意義解決問題，上述變式題的解法體現了向量幾何意義.

2.2.3 平面向量與其他知識的交匯

圖7

評注：向量的模可以利用坐標來表示，也可借助“形”，這是兩種不同的思維視角.作為中學數學的一個重要工具，向量成為聯系各模塊知識的橋梁，高三復習應在梳理基本知識的基礎上，關注平面向量在其他知識模塊的應用，滲透用向量來解決問題的思想方法.

2.3 以代數與幾何為主線，發展數學核心素養

新課標指出，數學課程的目標首先要求學生在學習數學的過程中掌握“四基”，即數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.其次是在應用數學的過程中提高“四能”，即從數學角度發現和提出問題的能力，分析問題和解決問題的能力.進而在學習數學和應用數學這兩個過程中發展六大數學學科核心素養.在平面向量復習備考中，從代數角度解決問題，重在發展學生數學運算、數學建模等學科核心素養.從幾何角度解決問題，重在發展學生數學抽象、幾何直觀、邏輯推理等學科核心素養.數學核心素養如何在數學教學課堂落地生根，需要一線教師勤于思考、注重實踐、持之以恒.