探“源”覓“圓” 才能“方圓”
——對一道課本習題的再認識

江蘇省海門中學 (226100) 顧旭東 王金忠

題目平易近人，可謂入手容易操作簡單.也正因為大家對于書本的深耕挖掘，因此與阿波羅尼斯圓(以下簡稱阿氏圓)有關的題目在各省市的模擬試卷上屢見不鮮，甚至在高考中也是頻頻出現.筆者通過課堂研究，發現學生對于阿氏圓的由來能欣然接受，但對于其中的變用常感到心有余而力不足.鑒于此稍作整理，羅列如下，懇請各位同行和專家批評指正.

圖1

其中我們還不難發現如下結論：①該圓的圓心C與點A,B三點共線；②當λ>1時，C在射線AB上；0<λ<1時，C在射線BA上．

點評：本題雖說以阿圓為背景，但指向比較明確，難度一般，對普通類學生的借鑒意義不大.而對于教師來講，實是一個不可多得素材.通過從特殊到一般的研究會發現其中定點、定值之間錯綜復雜的關系，我們先來看問題2.

點評：本題對學生而言，困境就在于第一步，即如何利用阿圓的逆向思考來實現點的轉移，無獨有偶筆者發現第58屆白俄羅斯數學奧林匹克競賽的一道試題，對其中的兩個點與阿氏圓中學生苦苦探尋的點不謀而合.

題目如圖2，A為⊙O外一點，過點A作⊙O的割線l與⊙O交于點B,C,B′為點B關于直線OA的對稱點，證明：直線OA與CB′的交點位置與直線l的選擇無關.

圖2

同樣若通過建系(以O為原點，OA所在直線為x軸)，圓方程為x2+y2=R2,不難發現xD·xA=R2.

圖3

經過探索研究后，發現點A與點D不一般，若我們在圓x2+y2=R2上任取一點P(x0,y0),則

圖4

圖5

圖6

同樣相關的結論在雙曲線與拋物線中也成立，在此不一一列出.為了表示對阿波羅尼斯的紀念，17世紀法國著名數學家費馬還把以下兩個關于圓的軌跡稱為阿波羅尼斯軌跡.

①到n個定點的距離的平方和等于已知數的動點軌跡為圓;②動點P到兩個定點A、B滿足mAP2+nBP2=k2(m、n、k是正常數)，則點P的軌跡為圓.

希望通過本文的探源分析，能讓學生主動體驗阿圓系統化的建構過程，從而真正意義上掌握阿圓.