2019年北大自招第1題的多解及推廣*

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (510631) 蔣紅珠 內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 劉成龍 趙鳳儀

該問題具有一定的難度、深度和廣度，不偏不怪、解法多樣、內(nèi)涵豐富、數(shù)學(xué)味濃、不設(shè)陷進(jìn)、可一般化，有助于學(xué)生加深知識理解、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究程式．因此，該試題是一個值得研究的問題．

一、問題解決

問題解決常常被看作是能動的、不斷發(fā)展的過程，它是通過數(shù)學(xué)思維不斷數(shù)學(xué)化的過程，是一個探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的過程[1]．本例從不同角度解決，有助于學(xué)生多角度理解問題，發(fā)展求異思維．

圖1

圖2

圖3

圖4

評注：從解答過程來看，問題對學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的考查十分深刻．在推理和運(yùn)算中，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神．在數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的考查中，引導(dǎo)學(xué)生不斷提高運(yùn)用幾何圖形解決問題的意識、提升數(shù)形結(jié)合的能力、感悟知識間的聯(lián)系、理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而培養(yǎng)創(chuàng)新思維．

二、問題推廣

張景中院士指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究中極其重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣．?dāng)?shù)學(xué)家總是在已有知識的基礎(chǔ)上，向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展，從實(shí)際的概念及問題推廣出各式各樣的新概念、新問題[2]．

分析1：從問題解決受到啟發(fā)，“45°、90°”很特殊，如果將“45°”改成“60°”，結(jié)果會怎樣呢？

圖5

略解：如圖5，S△BOA=

分析2：從問題解決受到啟發(fā)，“45°、90°”很特殊，如果將“45°”改成任意銳角“α”，結(jié)果會怎樣呢？

圖6

略解：如圖6，S△BOA=

分析3：從問題推廣1中受到啟發(fā)，“90°”很特殊，如果將“90°”改成“(0,π)”，結(jié)果會怎樣呢？

圖7

略解：如圖7，S△BOA=

評注：推廣1、2、3進(jìn)一步擴(kuò)大了問題研究的范圍，呈現(xiàn)了比原問題更一般的問題，擴(kuò)大了學(xué)生的視野，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

數(shù)學(xué)家波利亞指出：一個有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)?shù)剡x擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力．文中所呈現(xiàn)的多解與推廣正是通過對一個好的問題從不同層面反復(fù)、深入地剖析，實(shí)現(xiàn)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美、感受數(shù)學(xué)內(nèi)涵、認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最佳方式．