由一個含參不等式引申出的幾個優美結論

四川師范大學數學科學學院 (610068) 紀定春 夏逸天

1.問題與評注

問題(2020年高考標準樣卷(五)理科第16題)若不等式kxe≤ex對任意的x∈(0,+∞)都成立，則實數k的取值范圍為．

該試題結構簡單、形式對稱，蘊含了豐富的數學思想，如對數化思想、化歸與轉化思想、構造思想、函數化思想等，是一道感悟數學思想，體現數學方法的試題．我們將給出該問題的解決方法，并引申出幾個優美結論且加以證明．

2.問題的解決

評注：該方法主要是利用分離參數和構造函數，然后用導數來研究函數的單調性，最終得出參數的取值范圍．該方法蘊含了轉化思想、函數化思想等．

3.引申出的幾個優美結論

結論1 對任意的實數a，b，當0

結論2 對任意的實數a，b，當eba成立．

評注：結論1和結論2是對原問題的一般化處理，當然也可以增加參數，將其構造成原試題的模樣，然后將其設計成求參數范圍的問題．在原問題中，出現了“e”這個特殊點，并且“e”作為自然底數是一個無理數，此時對于“ba”和“ab”剛好相等．如果當把a或b中的其中一個看成是變量，實質上是一個冪函數與指數函數比大小的問題．如果我們固定一個變量會是怎樣的結果呢？于是，引申出如下：

結論4 設n>7，且n∈Z，若將n分成若干個正整數，證明：當這系列整數盡可能取3時(或盡量靠近e的整數時)，其之積達到最大值．

分析：由結論3可知：當每一份為e時達到最大，且當小于e時，其積是遞增狀態，當大于e時，其積是呈現遞減狀態．那么，只需要考慮e相鄰的兩個正整數2和3，下面將進行分類討論．

現在找出A1、A2的最小值，以及B1、B2、B3的最大值．易得A2>A1，B1>B3>B2．再比較B2和A2的大小，可以使用數學歸納法證明，對于任意的自然數n(n>7)，有B2>A2成立.故當這系列整數盡可能取3時(或盡量靠近e的整數時)，其之積達到最大值．

評注：推廣4的條件比推廣3的條件更為苛刻．推廣3的神奇之處在于，當對任意一個自然數(n>4)進行分解后成乘積最大，居然是分解成無理數，這也聯通了自然數、最值、無理數之間的關系．同時，推廣3的證明過程，也為推廣4提供了依據和思路，因為3更加靠近e，所以當分解成整數的乘積時，盡量分解成3或靠近3的整數之積，這樣才能使得分解后的乘積達到最大值．