雙曲線焦點三角形內切圓的性質及應用

江西師范大學附屬中學 (330027) 陳選明

在圓錐曲線的考查中，焦點三角形是考查橢圓與雙曲線第一定義的良好載體．焦點三角形結合圓，這樣的試題難度一定不會小，往往還涉及中位線、角平分線、中垂線、相似等平面幾何的知識．雙曲線焦點三角形的內切圓，在高考中鮮有涉及，但卻在模擬試題中屢見不鮮．本文就將雙曲線焦點三角形的內切圓的相關性質的推理與變式引申做一個歸納和推廣．

圖1

證明：由圓的切線長相等，即AF=AD，F1F=F1E，F2D=F2E．結合雙曲線的定義AF1-AF2=2a=F1E-F2E，因為2c=F1E+F2E，∴F1E=a+c,F2E=c-a．

延伸橢圓的焦點三角形△F1PF2的旁心與x軸相切于頂點．

圖2

圓錐曲線一直以計算量著稱，本題亦不例外．能否將平行關系轉化為三角關系是簡化運算的關鍵．其中解法一采用了坐標法，利用三角函數值表示點A的坐標，代入雙曲線求得參數m的值．解法二利用了余弦定理，將三角函數值代入余弦定理求出參數m．求得參數m后再利用等面積得到關于離心率e的一元二次方程，解方程即可求得離心率．

求離心率的方法甚多，大致可以分為三種：直接法、齊次方程法、幾何法．本題的解答過程中還可考慮利用幾何法結合性質1求解．

圖3

圖4

點評：本題的求解中利用雙曲線內切圓的幾何性質可得I1,I2在F1F2上的投影為雙曲線的右頂點H，在四邊形HI1H1F2有sinθ=sin∠HI1H1轉化為兩個內切圓半徑分別為r1和r2的關系求解，從而避免了幾何圖形中復雜的性質分析快速求解．

圖5

解析：由性質2可知，GH過右頂點A2且垂直于x軸，則

圖6

圖7

方法三：(相似三角形性質)如圖8因為HF2,

圖8

GF2分別平分∠AF2F1,∠BF2F1，則∠HF2G1=