兩道橢圓模考試題的拓展探究

浙江省金華第一中學 (321015) 吳賢盛

在近幾年的高考試題和模考試題中，圓錐曲線與圓的綜合問題是倍受命題者的親睞，這類試題可以很好的體現出高考試題在知識交匯處命題的特點，也可以很好的考查考生的綜合思維能力，具有很好的區分度.本文選取兩道這類試題進行賞析，并進行推廣探究，以期達到對學習圓錐曲線起到拋磚引玉的作用.

圖1

(1)求橢圓E的方程；

(2)如圖1，設圓C是圓心在橢圓E上且半徑為r的動圓，過原點O作圓C的兩條切線，分別交橢圓于A,B兩點，是否存在r使得直線OA與直線OB的斜率之積為定值？若存在，求出r的值；若不存在，說明理由.

圖2

(2)如圖2，設R(x0,y0)是橢圓C上一動點，由原點O向圓(x-x0)2+(y-y0)2=4引兩條切線，分別交橢圓于點P,Q，若直線OP,OQ的斜率存在，并記為k1,k2，求證：k1k2為定值；

(3)在(2)的條件下，試問|OP|2+|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.

這兩道高三模考試題都是與橢圓有關的定值的探究型問題，考查了橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系、直線與圓的位置關系，考查了函數與方程和化歸與轉化的思想，考查了考生的運算求解能力和推理論證能力，旨在考查考生的數學運算和邏輯推理的核心素養.以上解析中運用的破解橢圓定值問題的方法是直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.筆者通過類比和聯想，推理證明，得出了這兩道試題蘊含的圓錐曲線的如下性質.

羅增儒說：“一旦獲解，就立即產生感情上的滿足，從而導致心理封閉，恰好錯過了提高的機會，無異于入寶山而空返.”本例解題沒有停留在題目的解出，而是對這兩道模考試題進行推廣探究，得出這兩道試題的背景如上文中結論1，這樣可以培養學生的創造性思維，可以打破思維定勢和機械的思維模式，開闊學生的學習視野，提高學生思維的靈活性，提高學生的綜合思維能力和解題能力，提升學生的數學核心素養.