一道橢圓試題的探究及變式

廣東省中山市東升高級中學 (528414) 姬興瑞

圓錐曲線一直是高中數學的主干和核心知識，特別是涉及圓錐曲線的綜合解答題，由于難度和區分度較大，運算也較復雜，因而一直是高考的重頭戲.本文通過探究一道與橢圓有關的定點問題，發現橢圓、雙曲線、拋物線共有的一組優美結果.

一、一題多解、提煉思想

評注：此解法是解析幾何試題中求定點問題的常用方法，用斜率和截距作為參數來表示直線方程，通過運算研究兩個參量關系進而確定定點坐標；解法思路自然，學生容易想到，但是運算量大，對學生的運算能力有較高的要求.

評注：本解法2根據對稱關系找到定點的特殊位置，方法較為巧妙，但運算量亦較大，對學生基于圖形的特征判斷要求較高.

評注：本解法利用兩條直線方程的乘積形式來刻畫直線AB的方程，其本質是利用曲線系方程解題，可以將兩條直線看做二次曲線的退化，作為曲線的特殊形式，聯立兩條直線(曲線)與橢圓得到的解就是對應交點A,B的坐標，從而快速鎖定直線AB的方程，此過程中代數變形簡單，極大提高了解題效率，但是要求學生熟悉曲線系方程的應用.

評注：解法4將兩條直線的交點平移到坐標原點，使直線的斜率之積的代數形式變得簡單，再聯立直線和橢圓方程得到二次齊次問題，最后再根據根與系數的關系得出m,n的等量關系，進而求出定點坐標.此法大大簡化運算，不失為解析幾何解決定點問題的一個較好的方法.

二、一題多變，揭示本質

一題多解不是追求解題的目標，重要的是提煉解決一類問題的通性通法，揭示數學本質，形成數學方法與思想，促進學生數學抽象素養的提高.

(1)若將斜率之積-1換成任意的實數t，是否也有類似的結論？引導學生探索可得：

(2)點P(0,1)是橢圓的上頂點，自然聯想到對于其他三個頂點的類似問題，通過類比探究可得到：

(3)若將橢圓方程一般化，對本題結論做拓展研究，可得如下一些一般性的結論：

(4)若點P為橢圓C上的任一點呢？那么我們是否會有更一般的結論呢？

(5)由于橢圓、雙曲線和拋物線都是二次曲線，可以通過類比的方式橫向拓展一些結論：

以上結論，從具體數字到字母，從特殊到一般，從橢圓到雙曲線和拋物線，層層深入，不斷揭示數學本質，形成一般結論.從這一道模擬試題的結論研究可知：通過對問題變條件、變結論等方式，可以引導學生對命題進行不同角度、不同層次的探究，完善了學生的認知結構和方法體系，有利于發展學生的抽象能力素養，學生數學抽象素養的形成是一個長期的過程，要求我們在平時有意識的培養和引導，只要堅持下去，學生的抽象素養能力定會大幅提升.

三、編題變式，拓展能力

顯然由結論3可知，直線l過定點Q(6,0)，則P點到直線l的最大距離是PQ，即為4.

題2 已知直線y=kx+m與拋物線y2=2x交于A,B兩點，且直線OA與直線OB的斜率之積為-1，其中O為坐標原點，若OM⊥AB于點M,求M點的軌跡方程.

由結論11知直線AB過定點C(2,0)，依題意得M點的軌跡是以OC為直徑的圓，從而軌跡方程是(x-1)2+y2=1.

通過編題解題，一方面能加強學生對基本的解題思想方法的運用，加深學生對數學本質的理解，另一方面培養學生的創造思維能力.

四、探后反思

美國著名數學教育家波利亞說過：“掌握數學就意味著要善于解題.”而想要學會解題，好的數學題目是關鍵.一道好的試題之所以能引起大家的共鳴，不是因為其獨特的解題技巧，而是其中蘊含著的數學思想和方法.本文中的試題素材平實，但求解方法和過程精彩紛呈，妙趣橫生，真可謂是一道平中見奇的好題.在日常教學中，教師精心選擇這樣極具代表性的一題多解題目作為練習，通過一題多解、多題一解的訓練，增強學生的數學核心素養和思維能力的提升.正如波利亞說：“一個專心的認真備課教師能拿出一個有意義的但不復雜的題目，去幫助學生發展問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的領域”.