化歸思想在一類函數問題中的應用

成都師范學院數學學院 (611130) 王成強

化歸，即將一個數學問題轉化成一個數理邏輯等價的新問題的思想與方法的集合.化歸思想與轉化技巧是學習高中數學中必須掌握的本領之一；借助于化歸思想與轉化技巧解答數學問題是學習高中數學中必須積攢的數學活動經驗.函數綜合題形式豐富多樣，成功處理此類問題需要學生具有很高的轉化與化歸能力、邏輯思維能力、科學計算能力、空間想象能力等.概因于此，“函數與導數”是學習高中數學難點[1].借助于轉化與化歸解答函數綜合題，能幫助學生加深理解待處理的問題，加深認清問題的本質.本文基于化歸思想，構造輔助函數，將三道涉及證明不等式的函數綜合題，轉化成極值點偏移問題，最后，利用該方向的慣用方法解答新得的極值點偏移問題，從而完成對原問題的解答.

1 借助極值點偏移問題中的想法處理問題1-3

注1 證明問題1-3過程中引入的輔助函數F(x)都可以替換成F1(x)=f(x)-f′(x0)(x-x1)；

F1(x1)=F3(x1)=f(x1)=F1(x2)=F3(x2)，F2(x1)=F4(x1)=0=F2(x2)=F4(x2)，F5(x1)=(x2-x1)f(x1)=F5(x2)，F6(x1)=F8(x1)=F10(x1)=0=F6(x2)=F8(x2)=F10(x2)，F7(x1)=F9(x1)=f(x2)=F7(x2)=F9(x2)，F11(x1)=(x2-x1)f(x2)=F11(x2).

2 結束語

問題1-3具有函數綜合題的典型特征，創新性充分，數學情境營造合理，是各地高三數學模擬考試的熱門問題.模擬考試試卷的答案都是借助于化歸思想，將問題中的不等式轉化成新的不等式，之后，借助于齊次化方法，再將問題轉化成函數的單調性問題，最后采用導數分析法，斷定函數的單調性并完成問題的證明.本文提出的方法也是基于化歸思想，但與現存解答不一樣的是，本文是將問題轉化成極值點偏移問題.這樣處理的優點有二：其一，與現存解答相比，本文的計算更加具有目的性，且計算量相當于或略低于現存證明方法中的計算量，其二，借助于本文的方法，把問題轉化成極值點偏移問題，能幫助加深學生對問題的理解并認清問題的實質，能“引誘”學生嘗試利用極值點偏移問題中的方法處理問題，過程中不僅累積了解題經驗，也反過來加深了對極值點偏移問題的理解，能幫助學生將學過的知識“嵌入”更少的知識模塊中，從而使學過的知識更加系統化.