例析應(yīng)用因式分解求三次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

福建省泉州第一中學(xué) (362000) 楊秋環(huán)福建省泉州第五中學(xué) (362000) 楊蒼洲

直線與三次函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題相對(duì)比較抽象，在高考中常作為壓軸題出現(xiàn).在解決問(wèn)題時(shí)，運(yùn)算量往往較大，也常需要結(jié)合圖像進(jìn)行理解.本文借助因式分解的技巧，揭示直線與三次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題的求法規(guī)律.

1 直線與三次函數(shù)圖像的相交問(wèn)題

2 應(yīng)用舉例

(I)求a2-4b的最大值；

(II)當(dāng)a2-4b=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線為l，若l在點(diǎn)A處穿過(guò)函數(shù)y=f(x)的圖象(即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=f(x)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè))，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．

分析與解：容易求出問(wèn)題(I)中a2-4b的最大值是16．下面我們重點(diǎn)來(lái)分析問(wèn)題(II)的解題思路．

①構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化化歸．設(shè)曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=g(x)．構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，則問(wèn)題(II)等價(jià)于曲線y=h(x)在x=1的附近兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)，即x=1是函數(shù)y=h(x)的變號(hào)零點(diǎn)．

本題是利用三次函數(shù)圖像在拐點(diǎn)處的圖像特征設(shè)置的，其中第(II)問(wèn)學(xué)生會(huì)比較陌生，不容易理解題意，運(yùn)算量也會(huì)較大，但它含有運(yùn)算訣竅：函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)(其中直線y=g(x)為曲線y=f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線)一定具有因式(x-1)．利用這個(gè)特征，即可使得解題目標(biāo)更加明確，運(yùn)算思路更加清晰．

(I)試用含a的代數(shù)式表示b,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)令a=-1,設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1

分析與解：?jiǎn)栴}(I)中，易得b=2a-1．當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1-2a)和(-1,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1-2a,-1)；當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)a<1時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1)和(1-2a,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(-1,1-2a)．

問(wèn)題(ii)中，要求學(xué)生仔細(xì)觀察曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋問(wèn)題，似有不妥．學(xué)生只學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，沒有學(xué)習(xí)函數(shù)的凹凸性，要求做出正確的函數(shù)圖像是超出考綱要求和學(xué)生能力范圍的，讓他們通過(guò)觀察解題，不切合實(shí)際；通過(guò)觀察解釋問(wèn)題，語(yǔ)言規(guī)范不容易控制；更何況通過(guò)觀察、猜測(cè)所得的結(jié)果并不一定是可靠的．實(shí)則本題，借助前面介紹的解題方法，利用因式分解，依然可以順利求解，從而得到嚴(yán)瑾、科學(xué)的答案．

利用因式分解解決三次函數(shù)問(wèn)題，不僅目標(biāo)明確，思路流暢，還可以在解題過(guò)程中進(jìn)行目標(biāo)與計(jì)算結(jié)果的互相驗(yàn)證，從而最大可能地避免解題失誤．