極點與極線視角下求解2020年高考圓錐曲線題

廣東第二師范學院番禺附屬中學 (511400) 舒海燕福建師范大學數學與計算機學院 (350117) 陳清華

2020年高考落下帷幕，高考試題精彩紛呈，值得我們認真研究和學習.筆者試著對2020年高考全國Ⅰ卷理科數學第20題進行了探究.原題再現如下：

圖1

一、極點與極線的代數形式

定義1 對于圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，已知點P(x0,y0)(非中心)及直線l:Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+y)+F=0，則稱點P和直線l是圓錐曲線C的一對極點和極線.特別地：

(4)對于拋物線y2=2px(p>0)，與點P(x0,y0)對應的極線方程為y0y=p(x0+x).

二、極點與極線的幾何形式

圖2

定義2 如圖2，設P是不在圓錐曲線上的一點，過P點引兩條割線依次交圓錐曲線于四點ABCD，連接AC、BD交于Q，連接AD、BC交于R，則直線QR為點P對應的極線.若P為圓錐曲線上的點，則過P點的切線即為極線.

三、實例分析

例1 (2020全國I卷理11)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0，直線l:2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA、PB，且切點為A、B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( ).

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

圖3

圖4

圖5

(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經過右焦點F的任一弦(不經過點P)，設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1,k2,k3.問：是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.

掌握圓錐曲線的極點與極線知識與常用性質，不難洞悉專家在制高點上的命題趨勢與知識背景，可以幫助我們直觀感知，思辨論證,快速知道結論,明確解題方向，從黑暗的探索中去感受這光明的數學世界.