2020年高考全國(guó)卷Ⅰ解析幾何試題評(píng)析及備考建議

安徽 梁寶同

2020年高考全國(guó)卷Ⅰ的解析幾何題仍然由客觀題和主觀題兩部分組成，其中理科試卷客觀題以拋物線、雙曲線、直線與圓為考點(diǎn)，重點(diǎn)考查考生的解題基本功；主觀題以橢圓為考點(diǎn)，難度較2019年有所增加，尤其對(duì)考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求較高.文科客觀題延續(xù)一貫考法，主觀題延續(xù)了2019年的命題順序，放在第21題的壓軸題位置且與理科的第20題完全相同.雖然2020年解析幾何試題位置靠后，但對(duì)于定點(diǎn)問題，學(xué)生還是比較熟悉的，整個(gè)解題過程也比較常規(guī)，它延續(xù)了全國(guó)卷的重本質(zhì)、重通性通法、淡化解題技巧的命題風(fēng)格.

以下就通過分析2020年全國(guó)卷Ⅰ理科的解析幾何試題，總結(jié)近年來全國(guó)卷理科的解析幾何命題特點(diǎn)，明確備考方向，提出一些備考建議，望大家斧正.

一、2020年全國(guó)卷Ⅰ理科解析幾何試題解答與評(píng)析

題目1(2020·全國(guó)卷Ⅰ理·4)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=

( )

A.2 B.3

C.6 D.9

分析：本題以焦半徑為背景，應(yīng)充分利用拋物線的定義求解，這是解決此類問題的通性通法.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用拋物線的定義計(jì)算焦半徑，考查學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題.

題目2(2020·全國(guó)卷Ⅰ理·11)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為

( )

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

解法2：同解法1得到點(diǎn)P(-1,0)，作出圖象如圖所示，顯然，其中一條切線為x=-1，不妨設(shè)A(-1,1)，因?yàn)锳B∥l，所以直線AB的方程為y=-2(x+1)+1，即2x+y+1=0，故選D.

解法3：同上得到點(diǎn)P(-1,0)，AB的切點(diǎn)弦方程為(-1-1)(x-1)+(0-1)(y-1)=4，即2x+y+1=0，故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)證明：直線CD過定點(diǎn).

分析：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量的數(shù)量積以及定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力與化歸問題的能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算.試題解法多樣、內(nèi)涵豐富、精彩紛呈，是一道具有研究性學(xué)習(xí)價(jià)值的好題.

(2)當(dāng)m2≠3時(shí)，

解法4：(1)當(dāng)直線CD的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線CD的方程為x=my+t(t≠3)，C(x1,y1),D(x2,y2)，

即(m2+3)y1y2+m(t-3)(y1+y2)+(t-3)2=0，

解法5：如圖所示，根據(jù)題意，當(dāng)直線CD的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線CD的方程為x=my+t，C(x1,y1),D(x2,y2)，

且kCA=kAP③，kBP=kBD④，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，還考查了運(yùn)算求解能力、推理論證能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.解法1先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(6,m)，然后利用直線AP,BP分別與橢圓方程聯(lián)立，求解出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在處理定點(diǎn)的環(huán)節(jié)，采用的策略是“先采點(diǎn)，再打點(diǎn)”.簡(jiǎn)化了運(yùn)算量，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.解法2與解法3相似，都是從一般化開始研究，不同之處在于直線CD的設(shè)法不同，解題的關(guān)鍵在于簡(jiǎn)化直線CD的方程，雖然對(duì)運(yùn)算量有一定的要求，但解題思路明確，也不失為一種好方法.解法4先直接設(shè)出直線CD的方程x=my+t及C,D點(diǎn)的坐標(biāo)，接下來聯(lián)立直線CD與橢圓方程，通過設(shè)而不求的策略，找到m,t滿足的關(guān)系，進(jìn)而得到直線所過的定點(diǎn).但是本解法的關(guān)鍵在于通過點(diǎn)C在橢圓上，將非對(duì)稱韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為對(duì)稱的韋達(dá)定理.解法5利用橢圓上的點(diǎn)與任意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)連線的斜率乘積為定值這一常用結(jié)論，將原問題轉(zhuǎn)化為已知kBC·kBD為定值，求直線CD過定點(diǎn)問題，而這一處理巧妙地避開了非對(duì)稱的韋達(dá)定理問題.本題的第一問與向量綜合，體現(xiàn)了高考命題的綜合性，第二問是個(gè)常規(guī)的題型，在圓錐曲線中關(guān)于定點(diǎn)的問題很多，學(xué)生處理起來上手較容易.

二、高考命題特點(diǎn)的分析

以近五年全國(guó)卷Ⅰ理科的解析幾何考點(diǎn)分布為例：

年份題號(hào)知識(shí)點(diǎn)分值難度201651020雙曲線方程中參數(shù)取值范圍問題拋物線與圓綜合問題圓與橢圓,橢圓的定義求軌跡方程,四邊形面積范圍問題22易中等較難2017101520拋物線定義,焦點(diǎn)弦雙曲線離心率直線與橢圓,定點(diǎn)問題22中等中等較難201881119直線與拋物線,向量數(shù)量積雙曲線的幾何性質(zhì),直線與直線的垂直關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系,證明等角問題22易中等中等2019101619橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn)三角形雙曲線的離心率直線與拋物線,弦長(zhǎng)計(jì)算問題22中等較難中等20204111520拋物線的定義直線與圓,切點(diǎn)弦方程雙曲線的離心率橢圓,證明過定點(diǎn)問題27易中等易較難

從上表可以看到近五年高考全國(guó)卷Ⅰ的解析幾何數(shù)學(xué)試題呈現(xiàn)如下特點(diǎn)：

(1)題型及試題難度保持穩(wěn)定，2016—2019年都是2小1大，共3道題，其中直線與圓往往與其他3種曲線融合在一起考查，分值22分，而2020年增加了一道考查直線與圓的題目，共4道題，分值達(dá)到了27分.另外，選填題中有一道起點(diǎn)較低，另一道則是中等難度或是較難題.解答題的第(Ⅰ)問側(cè)重考查圓錐曲線的定義與基本性質(zhì)；第(Ⅱ)問考查形式多樣，但基本圍繞定點(diǎn)、定值或取值范圍等內(nèi)容，重在考查學(xué)生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)，突出高考的選拔功能.

(2)知識(shí)點(diǎn)分布均衡，重點(diǎn)突出對(duì)直線、圓、拋物線、橢圓和雙曲線知識(shí)的考查，沒有遺漏.通過對(duì)知識(shí)重組，考查時(shí)既注意全面，更突出重點(diǎn)，突出了核心主干知識(shí)的價(jià)值和考查力度，保證了較高的考查比例并保持必要深度.內(nèi)容主要集中在如下幾個(gè)類型：①求曲線方程(類型確定或待定)問題；②求坐標(biāo)、弦長(zhǎng)、面積(取值范圍或最值)問題；③探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征(離心率)問題；④與曲線有關(guān)的幾何證明(平行、對(duì)稱、定點(diǎn))問題.

(3)能力立意，小題呈現(xiàn)出“多一點(diǎn)想少一點(diǎn)算”的命題理念，借助數(shù)形結(jié)合便能快速得到答案.解析幾何與向量都具有數(shù)與形結(jié)合的特征，所以這兩者多有結(jié)合，在它們的知識(shí)點(diǎn)交匯處命題，體現(xiàn)了試題的綜合性，是高考命題的一大亮點(diǎn).另外在研究取值范圍的問題時(shí)，往往與函數(shù)、不等式等內(nèi)容交匯，也是意在考查學(xué)生的綜合素養(yǎng)以及未來學(xué)習(xí)的潛能.

三、2021年高考數(shù)學(xué)解析幾何備考建議

基于考生答卷中出現(xiàn)的一些典型錯(cuò)誤及全國(guó)卷解析幾何的命題特點(diǎn)，給出如下備考建議.

(1)夯實(shí)基礎(chǔ)，注重通性通法

高考中的解析幾何試題通常是對(duì)常規(guī)題型進(jìn)行改編，對(duì)常規(guī)習(xí)題的整合、變式和拓展，從而加工為高立意、新情境、巧設(shè)問的解析幾何問題，堅(jiān)持新題不難、難題不怪的命題方向.這要求學(xué)生積累必要的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過對(duì)一些典型習(xí)題的研究，掌握通性通法，并反復(fù)體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，把解題方法提高到數(shù)學(xué)思想的高度，提高分析和解決綜合問題的能力.在復(fù)習(xí)中要注重基本題型的訓(xùn)練，各類題型都要過關(guān)，及時(shí)總結(jié)每種常規(guī)類型的基本解題策略.常見的解析幾何解答題有以下幾種類型：①與圓有關(guān)的最值問題；②橢圓、雙曲線、拋物線的定義及應(yīng)用問題；③求解離心率的范圍問題；④橢圓、雙曲線、拋物線與圓結(jié)合問題；⑤圓錐曲線的最值、范圍問題；⑥軌跡探求問題；⑦圓錐曲線的定值、定點(diǎn)問題；⑧解析幾何中的對(duì)稱問題；⑨解析幾何中的存在、探索問題；⑩圓錐曲線與向量、數(shù)列結(jié)合的綜合問題.可以利用平常的周測(cè)，進(jìn)行滾動(dòng)訓(xùn)練.

(2)回歸教材，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

通過上面對(duì)圓錐曲線真題的分析，發(fā)現(xiàn)其原型源自教材.因此，回歸教材應(yīng)貫穿圓錐曲線復(fù)習(xí)的始終.回歸教材中的基本定理、公式、典型例習(xí)題、課后閱讀材料、拓展研究等素材，在回歸教材的基礎(chǔ)上，要著重強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的梳理、優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).注重對(duì)課本典型例題、習(xí)題的拓展，教材中的例題、習(xí)題雖然大多比較容易，但解法具有示范性和可拓展性，可以適當(dāng)編擬題組進(jìn)行訓(xùn)練，融會(huì)貫通.例如，上述題目4中的解法5就是利用“橢圓上的點(diǎn)與任意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)連線的斜率乘積為定值”這一結(jié)論，將原問題轉(zhuǎn)化為已知kBC·kBD為定值，求直線CD過定點(diǎn)問題，而這一處理巧妙地避開了非對(duì)稱的韋達(dá)定理問題.該結(jié)論在課本上出現(xiàn)的頻率多達(dá)3次，以此為背景進(jìn)行試題命制的高考題也很多，例如2019年全國(guó)卷Ⅱ理科的第21題.

(3)優(yōu)化計(jì)算，提升運(yùn)算素養(yǎng)

(4)研究真題，感悟命題思路

高考真題凝結(jié)了命題專家的智慧與匠心，對(duì)高三的復(fù)習(xí)教學(xué)具有較好的指導(dǎo)意義.通過追蹤同一知識(shí)點(diǎn)在近幾年高考中的命題趨勢(shì)，可以使高三的復(fù)習(xí)教學(xué)做到有的放矢.另外，有些真題是以往真題的相似題或改編題，因此，在平時(shí)教學(xué)中，對(duì)真題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪教骄浚粌H可以理清知識(shí)脈絡(luò)，把握高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，避免高三復(fù)習(xí)選題的隨意性、盲目性，還可以提高學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí).

(5)重視平面幾何知識(shí)的應(yīng)用