永登縣第二中學
函數與方程是高中數學教學的重要組成部分,也是教學的難點,同時也是高考著重考查的知識點。而函數與方程思想可以滲透到各個考點中,題型多、綜合性強,學生很多時候會因為理解不夠透徹而出現錯誤。因此,在教學中,教師要給學生滲透函數與方程思想,讓他們掌握并能靈活應用。高考對函數與方程思想的考查主要體現在以下幾個方面:
1.根據方程與函數的密切關系,可將二元方程轉化為函數來解決。
2.根據不等式與函數的密切關系,常將不等式問題轉化為函數問題,利用函數的圖象和性質進行處理。
3.在解決實際問題中,常涉及到最值問題的求解,通常是通過建立目標函數,利用求函數最值的方法加以解決。
4.中學數學中的某些數學模型涉及求參數范圍(如數列的通項或前n項和、含有一個未知量的二項式定理、解析幾何中有關量的范圍等),可將其轉化為函數問題,利用函數相關知識或借助處理函數問題的方法進行解決。
1.把問題中對立的已知與未知通過建立相關關系統一在方程中,通過解方程解決。
2.從分析問題的結構入手,找出主要矛盾,抓住某一個關鍵變量,將等式看成關于這個主變元(常稱為主元)的方程,利用方程的特征解決。
3.根據幾個變量間的關系,符合某些方程的性質和特征(如利用根與系數的關系構造方程等),通過研究方程所具有的性質和特征解決。
4.在中學數學中常見數學模型(如函數、曲線等),經常轉化為方程問題去解決(結合待定系數法)。
1.對于函數y=f(x),當y=0時,就轉化為方程f(x)=0,也可以把函數式y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0。
2.對于不等式f(x)>0(或f(x)<0),可通過構造函數y=f(x)去解決。
3.對于方程f(x)=0,也可通過構造函數y=f(x)去解決,二元方程F(x,y)=0可通過變形利用x表示y得到函數y=f(x)。
1.數列的通項或前n項和都是自變量為正整數的函數,因此常常將數列中的最值問題通過求函數最值的方法來求解,將數列中比較大小問題常常轉化為利用函數的單調性進行處理。
2.已知等差數列與等比數列的某些基本量,求數列的通項,常常通過建立關于首項a1與公差d(公比q)的方程(組)來處理。
1.解析幾何中的參數的取值范圍、最值問題常常可通過建立關于某變量的目標函數,然后利用求函數的值域(最值)的方法處理,或轉化為二次方程問題,利用判別式的符號解決。
2.求直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程常常需要利用已知條件,結合方程模型,通過建立方程(組)來解決。
1.已知函數的單調性、極(最)值點或極值大小,以及已知曲線的切線方程求解相關的參數或曲線方程,常常要通過求導后建立方程(組)來解決。
2.在求解一些不等式恒成立問題時,常常將其轉化為不等f(x)>m(f(x) 1.在向量的坐標表示中,常常要結合平面向量的基本定理,或向量平行、垂直的充要條件來求參數的值,一般都要通過建立方程來解決。 2.涉及數量積的最值、向量模的長度最值問題,一般可考慮建立關于某個變量的目標函數來解決。 1.在立體幾何的有關探索點的位置、角的大小等問題中,常常要通過建立函數或方程來解決;求簡單幾何體的面積、體積的最值時,也通常要通過建立目標函數來解決等。 2.三角函數本身就是一種函數,因此利用函數的相關知識處理三角函數問題就是很自然的了,而在解決三角函數問題中還可能大量地用到方程的思想,如已知三角函數的最值、奇偶性、單調性等求參數等。七、函數與方程思想在平面向量中的應用
八、函數與方程思想在其他知識中的應用