函數與方程思想在高考數學解題中的運用

永登縣第二中學

函數與方程是高中數學教學的重要組成部分，也是教學的難點，同時也是高考著重考查的知識點。而函數與方程思想可以滲透到各個考點中，題型多、綜合性強，學生很多時候會因為理解不夠透徹而出現錯誤。因此，在教學中，教師要給學生滲透函數與方程思想，讓他們掌握并能靈活應用。高考對函數與方程思想的考查主要體現在以下幾個方面：

一、運用函數思想解決問題

1.根據方程與函數的密切關系，可將二元方程轉化為函數來解決。

2.根據不等式與函數的密切關系，常將不等式問題轉化為函數問題，利用函數的圖象和性質進行處理。

3.在解決實際問題中，常涉及到最值問題的求解，通常是通過建立目標函數，利用求函數最值的方法加以解決。

4.中學數學中的某些數學模型涉及求參數范圍（如數列的通項或前n項和、含有一個未知量的二項式定理、解析幾何中有關量的范圍等），可將其轉化為函數問題，利用函數相關知識或借助處理函數問題的方法進行解決。

二、運用方程思想解決問題

1.把問題中對立的已知與未知通過建立相關關系統一在方程中，通過解方程解決。

2.從分析問題的結構入手，找出主要矛盾，抓住某一個關鍵變量，將等式看成關于這個主變元（常稱為主元）的方程，利用方程的特征解決。

3.根據幾個變量間的關系，符合某些方程的性質和特征（如利用根與系數的關系構造方程等），通過研究方程所具有的性質和特征解決。

4.在中學數學中常見數學模型（如函數、曲線等），經常轉化為方程問題去解決（結合待定系數法）。

三、函數、不等式、方程的互化關系

1.對于函數y=f（x），當y=0時，就轉化為方程f（x）=0，也可以把函數式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。

2.對于不等式f（x）>0（或f（x）<0），可通過構造函數y=f（x）去解決。

3.對于方程f（x）=0，也可通過構造函數y=f（x）去解決，二元方程F（x，y）=0可通過變形利用x表示y得到函數y=f（x）。

四、函數與方程思想在數列中的應用

1.數列的通項或前n項和都是自變量為正整數的函數，因此常常將數列中的最值問題通過求函數最值的方法來求解，將數列中比較大小問題常常轉化為利用函數的單調性進行處理。

2.已知等差數列與等比數列的某些基本量，求數列的通項，常常通過建立關于首項a1與公差d（公比q）的方程（組）來處理。

五、函數與方程思想在解析幾何中的應用

1.解析幾何中的參數的取值范圍、最值問題常常可通過建立關于某變量的目標函數，然后利用求函數的值域（最值）的方法處理，或轉化為二次方程問題，利用判別式的符號解決。

2.求直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程常常需要利用已知條件，結合方程模型，通過建立方程（組）來解決。

六、函數與方程思想在導數中的應用

1.已知函數的單調性、極（最）值點或極值大小，以及已知曲線的切線方程求解相關的參數或曲線方程，常常要通過求導后建立方程（組）來解決。

2.在求解一些不等式恒成立問題時，常常將其轉化為不等f（x）>m（f（x）

七、函數與方程思想在平面向量中的應用

1.在向量的坐標表示中，常常要結合平面向量的基本定理，或向量平行、垂直的充要條件來求參數的值，一般都要通過建立方程來解決。

2.涉及數量積的最值、向量模的長度最值問題，一般可考慮建立關于某個變量的目標函數來解決。

八、函數與方程思想在其他知識中的應用

1.在立體幾何的有關探索點的位置、角的大小等問題中，常常要通過建立函數或方程來解決；求簡單幾何體的面積、體積的最值時，也通常要通過建立目標函數來解決等。

2.三角函數本身就是一種函數，因此利用函數的相關知識處理三角函數問題就是很自然的了，而在解決三角函數問題中還可能大量地用到方程的思想，如已知三角函數的最值、奇偶性、單調性等求參數等。