函數(shù)與方程思想在高考數(shù)學解題中的運用

永登縣第二中學

函數(shù)與方程是高中數(shù)學教學的重要組成部分，也是教學的難點，同時也是高考著重考查的知識點。而函數(shù)與方程思想可以滲透到各個考點中，題型多、綜合性強，學生很多時候會因為理解不夠透徹而出現(xiàn)錯誤。因此，在教學中，教師要給學生滲透函數(shù)與方程思想，讓他們掌握并能靈活應用。高考對函數(shù)與方程思想的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

一、運用函數(shù)思想解決問題

1.根據(jù)方程與函數(shù)的密切關系，可將二元方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決。

2.根據(jù)不等式與函數(shù)的密切關系，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行處理。

3.在解決實際問題中，常涉及到最值問題的求解，通常是通過建立目標函數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法加以解決。

4.中學數(shù)學中的某些數(shù)學模型涉及求參數(shù)范圍（如數(shù)列的通項或前n項和、含有一個未知量的二項式定理、解析幾何中有關量的范圍等），可將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)相關知識或借助處理函數(shù)問題的方法進行解決。

二、運用方程思想解決問題

1.把問題中對立的已知與未知通過建立相關關系統(tǒng)一在方程中，通過解方程解決。

2.從分析問題的結(jié)構(gòu)入手，找出主要矛盾，抓住某一個關鍵變量，將等式看成關于這個主變元（常稱為主元）的方程，利用方程的特征解決。

3.根據(jù)幾個變量間的關系，符合某些方程的性質(zhì)和特征（如利用根與系數(shù)的關系構(gòu)造方程等），通過研究方程所具有的性質(zhì)和特征解決。

4.在中學數(shù)學中常見數(shù)學模型（如函數(shù)、曲線等），經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程問題去解決（結(jié)合待定系數(shù)法）。

三、函數(shù)、不等式、方程的互化關系

1.對于函數(shù)y=f（x），當y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。

2.對于不等式f（x）>0（或f（x）<0），可通過構(gòu)造函數(shù)y=f（x）去解決。

3.對于方程f（x）=0，也可通過構(gòu)造函數(shù)y=f（x）去解決，二元方程F（x，y）=0可通過變形利用x表示y得到函數(shù)y=f（x）。

四、函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用

1.數(shù)列的通項或前n項和都是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，因此常常將數(shù)列中的最值問題通過求函數(shù)最值的方法來求解，將數(shù)列中比較大小問題常常轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性進行處理。

2.已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的某些基本量，求數(shù)列的通項，常常通過建立關于首項a1與公差d（公比q）的方程（組）來處理。

五、函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用

1.解析幾何中的參數(shù)的取值范圍、最值問題常常可通過建立關于某變量的目標函數(shù)，然后利用求函數(shù)的值域（最值）的方法處理，或轉(zhuǎn)化為二次方程問題，利用判別式的符號解決。

2.求直線方程、圓的方程、圓錐曲線方程常常需要利用已知條件，結(jié)合方程模型，通過建立方程（組）來解決。

六、函數(shù)與方程思想在導數(shù)中的應用

1.已知函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值點或極值大小，以及已知曲線的切線方程求解相關的參數(shù)或曲線方程，常常要通過求導后建立方程（組）來解決。

2.在求解一些不等式恒成立問題時，常常將其轉(zhuǎn)化為不等f（x）>m（f（x）

七、函數(shù)與方程思想在平面向量中的應用

1.在向量的坐標表示中，常常要結(jié)合平面向量的基本定理，或向量平行、垂直的充要條件來求參數(shù)的值，一般都要通過建立方程來解決。

2.涉及數(shù)量積的最值、向量模的長度最值問題，一般可考慮建立關于某個變量的目標函數(shù)來解決。

八、函數(shù)與方程思想在其他知識中的應用

1.在立體幾何的有關探索點的位置、角的大小等問題中，常常要通過建立函數(shù)或方程來解決；求簡單幾何體的面積、體積的最值時，也通常要通過建立目標函數(shù)來解決等。

2.三角函數(shù)本身就是一種函數(shù)，因此利用函數(shù)的相關知識處理三角函數(shù)問題就是很自然的了，而在解決三角函數(shù)問題中還可能大量地用到方程的思想，如已知三角函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等求參數(shù)等。