探析方程和不等式的關聯性
——以一元二次方程和一元二次不等式為例

■錢志祥

作者單位：江蘇省蘇州市吳江區蘇州灣實驗初級中學

方程是指含有未知數的等式，不等式是指用不等號(“＞”“＜”“≥”“≤”)連接的式子，從數學表達方式來看，方程相當于不等式的一種特殊情況，因此方程和不等式問題具有一定的關聯性，下面以一元二次方程和一元二次不等式為例進行分析。

一、一元二次方程和一元二次不等式的基本知識框架

1.一元二次方程的基本知識

一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a≠0)，判別式為Δ=b2-4ac。當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ=0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程沒有實數根。當Δ≥0時，求根公式為x=。

2.一元二次不等式的基本知識

一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c≠0，ax2+bx+c＜0，ax2+bx+c≥0，ax2+bx+c≤0(a≠0)。

小結：一元二次方程和一元二次不等式對應的函數解析式均為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，因此在求解一元二次方程和一元二次不等式時，都需要利用對應函數的圖像是拋物線，且當a＞0時，拋物線的開口方向向上，當a＜0時，拋物線的開口方向向下等性質完成求解。

二、求解一元二次方程和一元二次不等式的方法

1.求解一元二次方程的四種常用方法

(1)公式法：確定方程ax2+bx+c=0(a≠0)中a、b、c的值，直接代入求根公式解得方程的根。該方法適用于解答任何一個有解的一元二次方程。

例1解方程18x2+20x+5=0。

解：因為a=18，b=20，c=5，所以b2-4ac=202-4×18×5=40＞0，所以x=，所以。

(2)直接開方法：當一元二次方程等號左邊是一個數的平方形式，等號右邊是常數項，即x2=m或(ax+b)2=m(m是已知數)的形式時，可以采用直接開平方法求得方程的根。

例2解方程(2x-1)2=48。

解：因為，所以2x=，所以。

(3)配方法：運用配方法時，需要先通過移項、合并同類型，把已知方程變換為一般形式；再把常數項移到等號右邊；然后在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，寫成完全平方的形式；利用直接開方法求得方程的根。

例3已知關于x的一元二次方程的解析式為x2-(m-3)x-m=0。

①求證：方程有兩個不相等的實數根。

②如果方程的兩個實根為x1、x2，且，求m的值。

解：①因為x2-(m-3)x-m=0，所以Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8＞0，所以關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根。

②因為方程x2-(m-3)x-m=0的兩個實根為x1、x2，且，所以(x1+x2)2-3x1x=7，所以(m-3)2-3×(-m)=7，解得m1=1，m2=2。

點評：第①問的證明需運用一元二次方程的判別式公式；第②問的解答需要在厘清已知條件，構建出關于m的一元二次方程后，采用配方法求解。

(4)因式分解法：運用因式分解法時，需要先將已知一元二次方程等號右邊轉化為零，將等號左邊通過提取因式轉化成可以采用十字相乘法求得根的兩項乘積的形式；再快速求得方程的根。

例4解方程(x-3)(x-5)=3。

解：將原方程轉化為x2-8x+12=0，所以(x-2)(x-6)=0，所以x1=2，x2=6。

2.求解一元二次不等式的方法步驟

(1)轉化標準式：把已知一元二次不等式轉化為二次項系數大于零的標準式，注意若原不等式的二次項系數小于零，在轉化時一定要注意變號。

(2)計算判別式和方程的根：計算對應于一元二次不等式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判別式Δ=b2-4ac，以及方程的兩根x1、x2(x1＜x2)。

(3)求符合題意的解集：當Δ＞0時，不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集為{x︱x＜x1或x＞x2}，不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集為{x︱x1＜x＜x2}；當Δ=0時，不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集為，不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集為?；當Δ＜0 時，不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集為R，不等式ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集為?。

例5已知函數f(x)=(x-1)(px+q)為偶函數，且在(0，+∞)上單調遞減，則不等式f(x-3)＜0的解集為____。

解：因為f(x)=(x-1)(px+q)=px2+(q-p)x-q是偶函數，所以q-p=0，即p=q，則f(x)=px2-q。又因為f(x-3)=p(x-3)2-q＜0，函數f(x)在(0，+ ∞)上單調遞減，所以p＜0，即(x-3)2-1＞0，解不等式得x＜2 或x＞4。所以不等式f(x-3)＜0的解集為{x︱x＜2或x＞4}。