高考試題的變式探究

■付 鵬(指導老師：張昆龍)

歷年高考試題集中考查了學生對基礎知識的理解情況、基礎能力的發展情況及基本態度和價值觀的形成情況，對高考試題的深入研究是高中學習的一個重要方面。以高考試題為基礎，對其采用合適的方式進行變式訓練，同樣也是高中學習的重要方式之一。通過不斷地對高考真題進行變式，從而使學生在“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律。

一、高考真題中的變式

例1(2010 年全國新課標Ⅰ卷理科第12題)已知雙曲線E的中心為原點，F(3，0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(-12，-15)，則E的方程為( )。

例2(2013 年全國新課標Ⅰ卷理科第10題)已知橢圓的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點。若AB的中點坐標為(1，-1)，則E的方程為( )。

分析：我們可以看到例1 和例2 兩道試題都是通過直線與圓錐曲線結合考查圓錐曲線中點弦結論的推導、應用及變形，所依托的背景分別是圓錐曲線中的雙曲線與橢圓，2013 年的考題只是把雙曲線方程改成了橢圓方程進行考查而已?？雌饋韮傻李}沒有什么關聯，但其本質上是一致的，考查的內容與做題方法一模一樣，兩道題如出一轍。

所謂“萬變不離其宗”，變式里的“宗”指的就是事物在數與形方面的本質特征。簡而言之，在試題變式過程中，不變的是理論、公式等，改變的只是一些題目及其他的外在形式，目的只是為了讓學生掌握“宗”。因此啟示我們應該研究透徹高考真題，不能就題論題，要充分理解高考試題的內涵與外延，而利用變式的形式可以將一道真題從不同角度進行變換與發散，從而使學生能夠理解不同知識的內在聯系及問題的本質特征。

二、以高考真題為基礎的變式探究

1.一變二，辯證對比中看待問題

所謂一變二就是指我們辯證地看待高考試題。一變二不僅僅指的是從一個問題的正面角度與反面角度去思考問題，還可以從抽象到具體、從特殊到一般、從主到次、從靜到動等各個方面設計問題。比如，從具體函數的定義域到抽象函數定義域求法的問題，函數恒成立與有解問題，圓錐曲線不動點求值引申為動點求取值范圍的問題，從而培養學生的邏輯推理、辯證思維的能力。

例3(2018 年全國新課標Ⅰ卷文科第15題)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A，B兩點，則|AB|=_____。

變式1：(變為已知弦長反求直線方程中的參數)已知直線l：kx-y+2k-1=0與圓x2+y2=6交于A，B兩點，若|AB|=2 2，則k=_____。

變式2：(變為已知弦長反求直線的一般式方程)過點P(3，6)且被圓x2+y2=25截得弦長為8的直線的一般式方程是____。

分析：例3主要考查的是有關直線被圓截得的弦長問題，主要研究圓中特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構成的直角三角形，借助于勾股定理求得結果。變式1 通過反向變式改編為含參直線與圓相交，已知弦長求參數的問題。而變式2更進一步改編為求直線方程的問題。通過結論與條件互換，幫助學生加深對此類問題的理解。

2.一變三，改變題設設計問題

所謂一變三就是通過改變高考試題中的條件、結論、背景三個因素來形成新的變式問題。通過在一道題中不停地對條件、結論及背景進行分析，不但能夠讓學生在以后做題的過程中較為迅速地找到這類題的答案，并且還能夠培養學生的創新思維能力。

例4(2014年北京文科第6題)已知函數，在下列區間中，包含f(x)零點的區間是( )。

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，4) D.(4，+∞)

變式3：(改變題中的結論)已知函數的零點的區間是(k，k+1)(k∈Z)，則k的值為_____。

變式4：(改變題中的背景)已知函數f(x)=(x-1)(x-2)+(x-1)(x-3)+(x-2)(x-3)有兩個零點，則這兩個零點所在的區間為( )。

A.(-∞，1)∪(2，3)

B.(1，2)∪(3，+∞)

C.(-∞，1)∪(3，+∞)

D.(1，2)∪(2，3)

例4主要考查函數零點定義及根的存在性定理。變式3通過把題設中的結論改為求取參數的值，做題原理是一樣的，并且把選擇題改為填空題，使學生無法通過代入的方法進行驗證，促使學生運用邏輯推理的方式得到結果。變式4 則通過改變題中的背景，把單零點問題變為雙零點問題，雖然做題方法沒有改變，但提升了難度，能夠提高學生的思維能力及應變能力。

三、總結

總體來講，我們應該利用好優秀的高考試題，通過變式的方式不斷對其加工、改造，讓學生能夠抓住數學問題及高考試題背后所蘊含的知識的本質。通過變式的方式去研究高考真題，不但能讓學生深刻地理解高考試題，還能夠提升學生的數學分析能力，培養自身獨立思考問題、解決問題的意識。最終讓學生建立起知識與知識之間的聯系，實現數學知識的整體遷移，真正做到“解一題，思一類，會一片，得一法”。