基于“大概念”的高中數學教學探索*
——以“基本不等式的綜合運用”為例

張海強

2018年1月，教育部發布了《普通高中數學課程標準（2017 年版）》，凝練了數學學科核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據處理六個方面，并以此為據，更新了課程內容與評價體系。值得注意的是，新課程標準首次使用大概念統整各學科課程內容，引領課程與教學改革，明確強調以學科大概念為核心促進學科核心素養的落實。筆者以為，大概念是核心素養的具體化，構建大概念視角下的單元整體教學設計是落實核心素養的有效途徑。

一、大概念概述

大概念，英文為“big idea”，也有學者將其譯為“大觀念”。在教育領域，有關大概念的研究至少可以追溯到布魯納對于教育過程的研究，他強調，無論教師教授哪門學科，一定要使學生理解該學科的基本結構，有助于學生解決課堂內外所遇到的各類問題。

隨著對大概念研究的深入，大概念的內涵趨于統一，即大概念是一種高度形式化、兼具認識論與方法論意義、普適性極強的概念；它已經不僅僅是一個簡單詞匯，而是作為一種深刻思想、學說的負載體，成為“思想之網”的樞紐，其表述方式可以是相關的概念、主題、有爭議的結論或觀點。

大概念的“大”不是指“龐大”和“基礎”，而是指“核心”。“大概念”中的“概念”的英文為“idea”，大概念可以是概念，但不局限于概念，也可以是方法、思想和觀點，它反映了專家的思維方式。大概念有三個顯著特征：

首先，大概念反映專家思維。專家思維的一個典型特征是專家的知識是通過大概念來組織的，反映專家對學科的理解深度。

其次，大概念體現協同思維。大概念是從具體中概括出的抽象，體現出具體與抽象的兩面性。

最后，大概念具有生活價值。專家的知識常常鑲嵌在應用的情境中，因此，大概念對學生而言，極具生活價值。

從大概念的外延來看，大概念可以是位于學科知識金字塔頂的上位知識，也可以是一種學科思維方式、學科思想方法。大概念可以是學生學習的一個“綱”，是整合所學知識的“組織者”，是串聯知識的“紅線”。

二、作為大概念的“轉化與化歸”

關于化歸，匈牙利女數學家路莎·彼得在《無窮的玩藝：教學的探索與旅行》一書中，講了一則膾炙人口的故事，其大意是：“現有煤氣灶、水龍頭、水壺、當你要燒開水，應怎樣做呢？”答曰：“在壺里注滿水，放在灶上，點燃煤氣即可。”“這自然是正確的，但若壺中已灌滿了水呢？”這時，“靈活”的人可能說：“放在灶上，點燃煤氣就可以了。”而數學家的回答則是：“把水倒掉”，就化成原問題了。

路莎評論說：“如上所述的推理過程，作為數學家的思維來說，是很典型的。他們往往不對問題進行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經能夠解決的問題。”

數學上有三類典型的轉化：一是通過抽象概括，把一個實際問題轉化為一個數學問題；二是通過引進恰當的符號或圖形，把數學問題加以形式化，使題意明確地呈現出來；三是在數學內部的轉化。由此可知，“轉化與化歸”具有大概念的三個顯著特征，即具有專家思維的特征、具有生活價值、體現了具體與抽象的協同思維。因此，“轉化與化歸”堪稱名副其實的數學學科“大概念”。

“轉化與化歸”的教學有兩個關鍵，一是幫助學生建立“能夠解決的問題或常見的模型”的集合，即轉化的目標（目的地）；二是幫助學生尋找轉化的策略與方法，即轉化的技藝（路徑）。基于這樣的認識，筆者進行了如下教學設計。

三、基于“大概念”的“基本不等式的綜合應用”教學設計

“基本不等式”是高中數學的重要內容，因其變化靈活而成為學生學習的一大難點，學生往往花了許多功夫而不得要領，經常出現“一講就會，一做就懵”的學習窘態。筆者以為產生這一教學現象的主要原因有兩個：一是學生頭腦中“能夠解決的問題”的集合不明確，沒有建立合適的模型；二是學生轉化的路徑不通暢，沒有形成相對穩定的方法。

本課選擇“轉化與化歸”為大概念，以構建完整的知識結構（模型）為實現“轉化與化歸”的載體，明確學生應掌握的知識、能解決的問題及常見的模型的集合；以消元法、換元法和配湊法為落實“轉化與化歸”的工具和方法，讓學生明確解決問題的路徑與方法，做到有章可循。這一教學設計也初步勾勒出了基于“大概念”的課堂教學設計（復習課）的基本框架。

案例1：介紹華羅庚自學的“厚薄法”。

華羅庚是享譽中外的數學家。他的自學方法被稱為“厚薄法”:第一步“由薄變厚”，即讀書要扎扎實實，每一個概念、定理都要追根溯源，這樣一來，本來一本較薄的書，由于增加了不少內容，就變得“較厚”了；第二步“由厚到薄”，通過分析、歸納、抓住本質，做到融會貫通，就是“由厚到薄”。

前階段我們系統學習了基本不等式的主要內容，完成了“由薄到厚”的過程；今天這節課我們一起對以前學過的知識作歸納與概括，以達到融會貫通的目的，實現“由厚變薄”。

【設計意圖】由華羅庚自學的“厚薄法”引出本課題，一方面起到學法指導的作用；另一方面就如何“由厚到薄”作一示范，為大概念“轉化與化歸”的出場做必要的鋪墊。

因為 ab＞0，所以 ab≥3，即ab≥9。（當且僅當a=3，b=3時取等號）

【設計意圖】①本題的選擇旨在讓學生領悟消元法和換元法（整體思想）是解決基本不等式試題的基本方法，為大概念“等價與化歸”的落實提供有效的工具和方法。

②構建較為完整的模型結構，

【設計意圖】①利用換元法和消元法，將新問題轉化與化歸為已有模型，讓學生體會大概念“轉化與化歸”的價值；②分母的結構特征是解題的有效觀察點之一。

案例6：歸納總結。

本節內容可用“一二三”來總結。一個思想指轉化與化歸的思想；兩類結構指和定結構與積定結構；三種方法指消元法、換元法和配湊法。其結構與關系如圖1。

【設計意圖】用最簡潔的語言概括本節課的主旨，并用圖示的方法揭示三者之間的結構與關系。這一教學環節有利于學生體會“厚薄法”的真正含義，領悟大概念“轉化與化歸”對知識與方法的統攝作用。

綜上，大概念是一種高度形式化、兼具認識論與方法論意義、普適性極強的概念，其表達方式可以指向學科的核心概念、主題、有爭議的結論或觀點。因此，帶著觀點進課堂成為基于大概念的課堂主要特征，大概念理念下的課堂正從目標為本的課堂走向觀點（觀念）為本的課堂。本案例將大概念定位于數學思想（轉化與化歸思想），其設計或可成為復習課落實數學學科核心素養的一種操作樣式。