對RLC串聯電路電壓求解問題的質疑與思考

王中元

(湖北師范大學 物理與電子科學學院，湖北 黃石 435002)

1 問題提出

圖1 RLC串聯電路圖

該題目屬于常規習題，計算并不復雜，常見的理論求解方法大致如下：

解：感抗XL=ωL=10×10-3×103=10Ω

容抗XC=1/ωC=1/(200×10-6×103)=5Ω

故用交流電壓表測量電阻、電感和電容兩端的電壓分別為9.23V、7.69V、3.85V.

由于上述涉及到的學科理論和解題方法并沒有問題，在相關教材上基本是按照這種方法來求解的，老師也是按照這種方法來進行講授的，學生對這種方法也就確信無疑。由于上述方法只是從理論方面進行計算的，但如果用真實的電壓表來測量電壓時，上述求解結果確實存在值得商榷之處。

2 實驗驗證

實驗選用SP1641B型函數信號發生器作為交流電源，用常用的WY2174型交流毫伏表(電壓測量范圍：300μV～100V)來測電壓。由于低頻信號發生器和晶體毫伏表的測試探頭上的連接線都采用示波器的信號線，一般有兩個連接鱷魚夾的引線，一個是紅色的連接線，另一個是黑色的連接線，兩根線是用來連接電路的。選用RX7-0型十進電容箱、BG6-3型標準電感、ZX21型旋轉式電阻箱分別作為電容、電感和電阻元件。

現把低頻信號發生器的紅色線端接入圖1中的a處，黑色線端接入圖1中的d處，如果只用一個交流毫伏晶體表來分別單獨測量元件的電壓。為保證滿足上題條件，電阻箱電阻取R=12Ω，選用L=10mH的標準電感，電容箱電容取C=200μF.當外加電源電壓U=10V，且頻率f=159.2Hz時，即角頻率為1000rad/s，其測量電壓結果如表1所示。

表1 測量元件的電壓值

從實驗測量的數據可以得出下面的結論：

1)電壓表實際測量的電壓值與上述計算結果存在很大的差異。

2)電壓表紅色和黑色連接線連接元件端點的位置不同，測量出元件的電壓值也不相同。

3 實驗結果分析

由于一般的指針式萬用表(交流電壓檔)比交流電壓表測量交流電壓的輸入阻抗要低，測量時對電路的分流作用大，對測量結果影響要大，這樣測量值也不準確。并且指針式萬用表測電壓的工作頻率一般為市電頻率，測量電壓范圍也小。而交流電壓表內部帶有放大器，可以將小信號放大，因此可以測量很低的毫伏電壓、甚至于微伏電壓，適用頻率范圍較廣。而WY2174型晶體交流毫伏表的頻率響應范圍為5Hz～1MHz.從上面的分析可知，根據本題的條件來看，用交流電壓表比萬用表來測量電壓時誤差要小得多，準確度要高得多。

3.1 實驗測量條件分析

在實驗的操作過程中，經對儀器進行調節與測試，確認低頻信號發生器、電壓表等儀器和三種基本電路元件均正常，不存在實驗儀器損壞問題，在空氣中不含有足以引起腐蝕的有害物質。實驗室的插座電源電壓為 222V、環境溫度為15°、相對濕度為40%，符合選用一般儀器要求的電源電壓為220V±10%、環境溫度為 0°～40°，相對濕度 ≤80%的工作環境要求。絕緣程度符合要求，也不存在強磁場的干擾和人為操作因素的影響。實驗用的電源電壓的相位對有效值大小不存在影響。

3.2 實驗測量誤差分析

在實驗儀器與儀表量程的選擇方面，盡量考慮到儀表偏轉較大，以盡量減小實驗誤差。而導線自身的電阻和接觸電阻非常小，可以忽略不計，而所用的BG6-3型10 mH標準自感線圈的直流電阻約為3Ω，相比選用的電阻12Ω來說，實驗測量結果與用理想電感得出的結果還是存在一定的出入。由于所用連接導線很短，其連接導線產生的分布電容、寄生電容和分布電感都非常小，盡管改變導線的位置與形狀，電壓表讀數基本無變化，因此，這些分布電容和分布電感等對實驗測量結果基本沒有影響。

3.3 實驗測量裝置分析

該實驗裝置并不復雜，除了導線和電阻、電感、電容三個基本元件外，剩下的就是低頻信號發生器和電壓表了。由于實驗選用的低頻信號發生器一般讀數直觀、精確、性能穩定。而交流電壓表是先將微小信號進行放大，然后再進行測量，作為輸入級，以盡量減少測量儀器對被測電路的影響，同時采用輸入阻抗高的電路作為輸入級，可盡量減少測量儀器對被測電路的影響[1]。由于實驗選用的交流電壓表測量的靈敏度高，輸入的阻抗高(大于500kΩ)，當該電壓表接入被測電路后，對接入電路測量電壓時的影響是非常小的，并且電壓表表盤的刻度所對應的數值是電壓的有效值。

交流電壓表饋線的一端是與儀器相連的BNC插頭，另一端有兩個分別連接有鱷魚夾的紅色和黑色引線，這兩根引線是用來連接被測電路。盡管測量交流電壓時不區分極性，但對于有一些交流電壓表連接電路測量電壓時必須保證黑線與被測電路的地線相連，即電子測量儀器的地線與被測電路的地線相連，不能反過來，不然會引入電路干擾，致使這些電子測量的結果不夠準確[2]。

低頻信號發生器(函數信號發生器)信號輸出端子也是由兩個分別連接有鱷魚夾的紅色和黑色引線作為輸出連接線，其中黑線端必須與被測電路的地線相連。為了防止外界的干擾，交流電壓表與低頻信號發生器在設計時都采用三芯電源插座的電源線，其中的地腳線必須與大地接觸良好,可以有效地防止導線因空中的電磁場引起磁通量變化而產生電動勢的影響。

通過用萬用表來測量可知，低頻信號發生器輸出端子的黑色引線和交流電壓表連接線的黑色引線是接通的。實際上，在同一個實驗臺上三插座的接地線是連在一起的，也與測電路的地線是通過插座的接地線相連接。因此，用交流電壓表測量元件的電壓時，由于電路連接的不同，測量電路的電壓也不盡相同。如果是用三個交流電壓表來同時測量各元件的電壓，也會因連接方式的不同使測量值與上述理論計算值出現不同的結果。

4 結論與思考

4.1 實驗測量結論

如圖1所示的電路，由于低頻信號發生器的紅色線端接入a處，黑色線端接入d處，實驗選用一個交流電壓表來測量元件兩端電壓。

4.1.1 測量電阻電壓結果分析 如圖2(a)所示，當電壓表的紅色連接線接a點，黑色連接線接b點時，造成圖示的b、d點因接地線而連接，從而使電感與電容都發生短路，故此時測量電阻電壓與電源電壓10.00V相同。

(a) (b)

如圖2(b)所示，當電壓表的紅色連接線接b點，黑色連接線接a點時，同理可分析得出整個電路發生短路，故電壓表測得的電壓值為0.

4.1.2 測量電感電壓結果分析 如圖3(a)所示，當電壓表的紅色連接線接b點，黑色連接線接c點時，造成圖示的c、d點因接地而連接，使電容器發生短路而未真正連接于電路之中，故此時測量的電壓為電阻與電感串聯時電感兩端的電壓，但由于實際電感存在直流電阻，因此，測量結果中是包含電感直流電阻時的測量結果，并非是理想電感情況，但還是很容易直接看出兩黑色連接線因接通對本電路的影響。

如圖3(b)所示，當電壓表的紅連接線接c點，黑連接線接b點時，造成圖示的b、d點因接地而連接，使電感、電容和電壓表都發生短路，故此時電壓表測得電感的電壓值為0.

(a)

4.1.3 測量電容電壓結果分析 如圖4(a)所示，當電壓表的紅色連接線接c點，黑色連接線接d點時，則圖示的電壓表測量的就是電容兩端的電壓，但由于電感存在直流電阻，使測量結果與理想狀態計算的理論結果有一定的差異。

(a)

如圖4(b)所示，當電壓表的紅色連接線接d點，黑色連接線接c點時，造成圖示的c、d點因接地而連接，使電容和電壓表都發生短路，故此時電壓表測得電容的電壓值為0.

根據分析可知，上面的計算純屬于理論中的理想情況計算，或者只適用于求解不考慮電感直流電阻和不要求區分連接接線柱的交流電壓表測量值的計算。

4.1.4 測量RLC元件電壓的方法 要保證理論計算與實驗結果一致，當用區分連接接線柱的交流電壓表來測量元件電壓時，則必須保證低頻信號發生器輸出端子的黑色引線和交流電壓表連接線的黑色引線連接在一起，并與被測元件相并聯，故測量電阻兩端電壓的連接電路圖可改裝成如圖5所示，當滿足上題的要求與條件時，用實驗測量電阻兩端電壓為7.60V.

圖5 RLC串聯電路中電阻電壓的測量圖

在圖5所示電路中，如果只把電阻與電感的位置對換就可測量RLC串聯時電感兩端的電壓, 當滿足上題的要求與條件時，用實驗測量電阻兩端電壓為6.60V.

在圖5所示電路中，如果只把電阻與電容位置對換時就可測量RLC串聯時電容兩端的電壓。當滿足上題的要求與條件時，用實驗測量電阻兩端電壓為3.16V.

按照上述實驗方法來分別測量元件電壓，盡管上述實驗結果與理論計算結果存在一定的差別，其主要原因是實際電感存在直流電阻造成的影響。如果把電感直流電阻3Ω考慮進去進行理論計算，同時注意電壓表的正確連接，其理論計算值就會與實驗測量結果一致了，使理論計算與實驗測量達到相統一，從而又用實驗證明了理論計算方法的正確性。

4.2 實驗結論引發的教學思考

由于同一道題出現了理論與實驗結果并不完全相同的情況，主要是實際儀器的特定要求造成的影響，也反映出我們的大學教學存在一些不足之處，有些教學問題也值得我們進一步反思。

4.2.1 轉變教學觀念，重視學科理論必須與具體實際相結合 由于目前有的大學教學，片面地強調理論課程教學的重要性，把理論課程教學的好壞當成是培養合格人才的唯一標準或者說是主要標準[3], 造成理論教學和實驗教學完全脫節，你教你的，我做我的[4]，因而出現理論教學與實驗教學各自為政，造成有的理工科涉及到的實際應用問題一般都是按照理想的理論問題來處理。因此，在教學中必須轉變思想觀念，為適應現代大學教學的轉型發展，必須改變重理論、輕實驗；重理論、輕實踐；重理論、輕實際的舊觀念，必須重視教學過程中的理論聯系實際，做到把課程實驗融合到理論教學的課堂之中。同時讓理論教學、實驗教學任課教師盡可能開展互相觀摩聽課的方式，加強對兩門課程的認識[5]，使理論教學與實驗教學相統一，理論課程中的習題教學與實際應用問題求解相融合。

4.2.2 重視命題規范，區分實際問題的模型化與具體實際問題 習題的求解是用來反饋學生掌握知識的一個重要方面，也是考查學生運用所學知識解決實際問題的重要途徑之一。從大體方面來看，理工科實際應用方面的習題包含實際問題模型化的理論模型習題和解決實際具體問題方面的應用題。而有的應用方面習題中的內容是非常明了，是模型化的理論型還是實際應用型習題就一目了然，但由于習題條件的限制以及解題習慣的影響，涉及到實際問題方面的習題也可變成模型化的理論方面的習題(如上例題的求解)，當然在處理實際應用方面習題時也會根據需要忽略一些次要因素。因此，為了突出習題的科學性，必須注意實際應用方面習題的命題規范，理清是要考查學生實際問題模型化方面的問題，還是要考查真實實際應用方面的問題，并根據需要增加相應的條件或說明，否則，就需要進行分類討論來求解，或加限制條件來進行求解。因此，上題和類似方面的習題應該明確說明是用哪一種類型的電壓表來測量電壓，如果是用不區別連接線的電壓表來測量，也就可以用上述理論方法計算了。如用常用的MF47型的萬用表是不能測量該電壓了，因為這種萬用表基本上是針對50Hz的市電頻率而設計的，而交流電的頻率越大，用來測量電壓的誤差就越大，甚至測量的結果完全是錯誤的。而有的數字萬用表測量電壓時的頻率適用范圍要大得多，用這種數字萬用表來測量本題的電壓時可從理論方面進行計算。如果用常用的交流電壓表來測量非市電(市電頻率一般作為50Hz)電壓時，那上述計算過程就存在問題，那就只能按照上面實驗結果來進行討論與求解。

5 結束語

習題的求解過程就是解決問題的過程，在教學中必須重視理論聯系實際，無論是從實際應用問題的求解方面，還是從學校的轉型發展、應用人才的社會需求和教學原則等方面來看，在重視理論知識教學的同時，必須重視把理論教學與實際應用問題有機地結合起來，學以致用。從今年新冠肺炎的治療與疫情防控方面來看，所學的理論知識必須與實際應用有機地結合起來，才能更好地彰顯科學技術的威力，大量的事實也證明了將理論知識應用于實際的重要性。