Legendre加倍公式推廣公式的新證明

黃華平

(重慶三峽學院 數學與統計學院，重慶 萬州 404020)

0 引言

Γ-函數, 也稱為Euler第二積分, 是階乘函數在實數與復數上擴展的一類函數[1, 2]。它在分析學、概率論、偏微分方程、組合數學、工程技術中都有很強的應用[3, 4]。利用Γ-函數可以得到很多有用的數學公式。例如, 利用它可以得到Weierstrass公式、余元公式、Legendre加倍公式等等[5～7]。這些公式, 尤其是Legendre加倍公式，在工程數學、復分析、調和分析等領域都有廣泛的應用[4,6]。文獻[5]的第104頁和文獻[6,7]都給出了Legendre加倍公式, 文獻[5]的第108頁也給出了Legendre加倍公式的推廣公式, 但沒有給出證明過程。為方便對該課程的教與學，本文將利用Weierstrass公式和余元公式以及多項式的根與系數的關系，詳細給出該公式的證明過程。

為此，先回顧一下基本概念。

定義1[1]設為復數域, 由積分

定義的函數稱為Γ-函數。

當z=x>0時, 它與數學分析中的Γ-函數Γ(x)一致。因此，Γ(z)是Γ(x)從實軸到復平面的延拓。利用Γ-函數, 可以得到Weierstrass公式:

(1)

其中γ=0.577215…稱為Euler常數。利用Weierstrass公式可以得到余元公式:

(2)

由此, 得到著名的Legendre加倍公式:

(3)

下文旨在將(3)式及其推廣公式進行證明。為此, 需要回顧一下多項式的根與系數的關系。

引理1[8]設

f(z)=anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0(n≥1,an≠0)

是一個n次復系數多項式,z1,z2,…,zn是它的n個根, 則

……

1 主要結果

引理2[3]下列結論成立:

證明 在(1)式等號兩邊取對數可得

再在此式等號兩邊同時求導, 得到

即得(1)，最后在(1)等號兩邊同時求導即得(2)。

定理1[3]設n=2,3,…,則有如下的Legendre加倍公式的推廣公式:

(4)

證明 令

(5)

在(5)式等號兩邊同時取對數, 則

(6)

再在(6)式等號兩邊同時求導, 可得

進一步求導, 得到

(7)

利用引理2的(2), 有

于是

……

將這些式子代入到(7)式, 可得

=0

遂存在兩個復常數α,β,使得φ(z)=βeαz.下面求解α,β.

由于

(8)

故由(8)式和(2)式, 有

(9)

因為方程(z+1)n-1=0除了z=0外還有n-1個根:

而

故zk(k=1,2,…,n-1)為多項式

的根。由引理1可得

(10)

又

導出

(11)

聯立(10)式和(11)式, 得到

從而

(12)

再將(12)式代入到(9)式, 得到

導出

(13)

注意到

(14)

由(8)式和(14)式可得

eα=n-n

(15)

將(15)式代入到(13)式, 有

(16)

因此, 由(15)式和(16)式, 可得

(17)

最后聯立(5)式和(17)式即得(4)式。

注1 若在(4)式中取n=2,則得到(3)式。即(3)式是(4)式的特殊情形。換句話說,(4)式是Legendre加倍公式的推廣公式。