帶有時滯的非線性耦合神經網絡在基于觀測值事件觸發脈沖控制器作用下的輸入到狀態聚同步

王 勇，李必文，李夢月

(湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

多系統網絡的同步一直是一個非常重要的研究課題。多系統網絡同步類型有很多，例如全局同步[1]、滯后同步[2]、相位同步[3]、組合同步、H∞同步[4]、輸出同步、聚同步[5]等等。其中聚同步是一類非常有意思的同步：同一網絡中的所有個體被分為幾個群體，屬于同一個群體的個體的動態行為是完全同步的。現實世界中的食物網、細胞代謝網絡、無人機編組、電力網絡、社交網絡等等，都是這種動力學行為的重要體現。

近幾十年，有相當多的學者對這一類同步進行了研究。文獻[6]中，Liu P等人研究了不僅適用于整數階，同時還適用于分數階的分數階時滯神經網絡的同步和固定時間同步。在文獻[7]中，Tang I等人研究了 Lur′e 網絡的有限時間聚同步，將聚同步推廣到了特殊網絡中。自從Sontag E D[8]第一次用輸入到狀態穩定性描述外生擾動對動力系統的影響，輸入到狀態穩定性受到了越來越多的關注[9-11]。輸入到狀態穩定，簡而言之，無論系統初始狀態如何，系統的狀態最終都能進入到與輸入有關平衡點的一個鄰域。在文獻[12]中，Li X D等人研究了在基于觀測值的事件觸發脈沖控制下的非線性系統的輸入到狀態穩定，并且得到了系統輸入到狀態穩定的充分條件。

通常情況下為使系統達到需要的狀態，需要對其施加合適的控制。常見的控制有自適應控制、PID控制、脈沖控制、H∞控制、事件觸發控制等。其中事件觸發控制僅在離散的事件觸發時刻對系統控制進行更新，在實際應用中可以大大節約通信資源[13-14]。

由于有限的信息傳輸速度和系統存在合理范圍內的誤差等因素，使得我們在系統的研究工作中必須考慮時滯。因此，在文獻[12]的基礎上，本文重點研究了基于觀測值的事件觸發脈沖控制器的時滯非線性耦合神經網絡的輸入到狀態聚同步，本文的主要特點如下：

1)我們將系統的輸入到狀態穩定問題拓展到了輸入到狀態聚同步。

2)通過設計合適的基于觀測值的事件觸發脈沖控制器使得系統達到輸入到狀態聚同步。

3)相對于文獻[12]而言，本文中我們考慮了時滯因素，從而使系統更具有實際意義。

本文其余的部分組織如下：在第一節中給出了一些準備知識和模型描述，并給出了兩個重要的引理，在第二節給出系統達到輸入到狀態聚同步的充分條件，并排除了控制器的Zeno行為，同時給出了控制器的設計方法，在第三節給出了一個例子證明本文理論結果的有效性，最后在第四節進行了總結。

1 模型描述和準備工作

其中Ck={lk-1+1，1k-1+2，…，lk}，表示第k個集群中所有節點的索引集，其中1

本文中，我們考慮一個由N個神經網絡組成的耦合系統，其中第i個神經網絡的狀態方程表示為：

yi(t)=Eixi(t)

(1)

有時，由于物理限制或實施成本，系統的狀態可能無法完全訪問[16]，這導致基于狀態反饋的控制器失效。因此，本文將構造一個基于觀測值的控制器。假設觀測值系統給出如下：

(2)

分別為第i個神經網絡的狀態估計值和這個估計值的輸出。

接下來給出關于(1)的幾個假設。

注記1 通過假設A1)可以發現同一集群中的神經網絡具有相同的矩陣參數。

A2)在本文中，假設(1)中的激活函數是Lipschitz連續的且滿足：

|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|，L≥0，特別的，我們規定f(0)=0.

A3)假設耦合矩陣G滿足

其中Gkk∈R(lk-lk-1)×(lk-lk-1)是一個具有非對角元非負的零行和矩陣，Gkr∈R(lk-lk-1)×(lk-lk-1)(k≠r)，k，r=1,2,…,M是零行和矩陣。

在本文中,用圖中的第i個節點代表系統中的第i個神經網絡。

為了得到系統(1)的輸入到狀態聚同步，假設第k個(k=1,2,…,M)集群中所有節點的同步軌跡如下：

(3)

它有可能是第k個集群中的一個平衡點，周期軌道或者混沌吸引子。

結合A3)和(2)，可得到對于任意i∈Ck,k=1,2,…,M有：

(4)

(5)

其中i∈Ck,Fi(t)=f(xi(t))-f(rk(t))，Fi(t-τ)=f(xi(t-τ))-f(rk(t-τ)).同樣，結合(2)(3)(4)和A1),可得到(5)式的觀測值。

(6)

(7)

(8)

基于上述觀測值，控制輸入ui1和ui2設計如下：

Pk是控制輸入ui2的控制增益，因此系統(5)可表述為：

(9)

(10)

令

vi(t)=(ei(t)T,ξi(t)T)T

從而可得到如下形式的增廣系統：

(11)

其中

(12)

其中

設計如下的事件觸發機制：

(13)

注記2 由于系統中的節點在不同的集群有不同的矩陣參數，從而他們有不同的控制增益矩陣，而且每個節點都有各自的初始函數，因此每個節點都有自己的觸發時間序列和事件觸發時間序列。我們注意到，如果所有的節點使用同一個觸發時間序列和事件觸發時間序列，那么有些觸發時刻對于某些節點可能是不必要的，因此每個節點有各自的時間序列和事件觸發時間序列可以更好地減少不必要的通信資源的浪費。

引理1 對于任意的x,y∈Rn，則以下不等式

xTy+yTx≤xTSx+yTS-1y

成立，其中S是一個n×n的正定矩陣。

引理2 如果函數G∶[t0-τ,+∞)→[0,+∞)滿足：

(14)

其中α∈，β，τ均為正常數，且滿足-r+α+βe-rτ≤0則我們有：

G(t)≤G(t0)er(t-t0)t∈[t0-τ,+∞)

(15)

證：令

由(14)可得：

≤0

t∈[t0,+∞)，從而可得到：

也就意味著G(t)≤G(t0)er(t-t0)，其中t∈[t0,+∞).證明完成。

定義1 如果存在函數U1∈KL，U2∈K∞和可測的局部有界耦合項ωi(t)，對于增廣系統(11)，在任意初始條件(t0,υi 0)下，(11)的解υi(t)滿足

則系統(1)在事件觸發控制策略(13)下是輸入到狀態聚同步的。

注記3 增廣系統(11)由系統(1)的誤差系統和跟蹤誤差系統組成，如果想證明系統(1)是輸入到狀態聚同步的，則由文獻[7]中關于輸入到狀態穩定的定義，只需要證明增廣系統(11)的輸入到狀態穩定即可。

2 理論結果

在本節中，我們將推導出系統(1)輸入到狀態聚同步所需的條件，首先給出系統(11)輸入到狀態穩定所需的充分條件和詳細推理過程。

定理1 假設控制增益矩陣Ki 1，Ki 2∈Rs×m，Pk∈Rs×n，事件觸發參數β∈(0,0.5)，ζ>0，π>0是給定的，存在正定矩陣P∈R2m×2m，Qi∈R2n×2n，i=1,2,3,4，和兩個正常數μ,d使得：

(16)

(17)

(18)

同時存在常數r使得：

d-rπ≥0

(19)

其中：

則系統(1)在事件觸發機制(13)下是輸入到狀態聚同步的。

證 假設υi(t)=υi(t,t0,υi 0)是系統(12)在初值(t0,υi 0)下的解。考慮Lyapunov函數

(20)

由(A2)可得：

從而有：

(21)

類似的，也可得：

(22)

(23)

(24)

(25)

從而有

結合(25)式，則有：

其中

(26)

V(t)=ψi(t)TPψi(t)

≤e-dV(t-)

(27)

(28)

由(27)式可得出：

那么也就意味著：

(29)

那么將兩種情況結合，可得出：

由(27)，則有：

也就意味著：

同時根據條件(19)d-rπ>0，則重復類似的步驟有：

那么用同樣的方法，最終可得到在t∈[t0,∞)上

則增廣系統(11)是輸入到狀態穩定的，也就是說系統(1)是輸入到狀態聚同步的。證明完畢。

接下來需要證明系統(11)在控制機制(13)下無Zeno行為。

定理2 在控制機制(13)的情況下，系統無Zeno行為。

證 為了排除Zeno行為，從以下三個情況考慮：

(30)

其中

(31)

(32)

也就意味著：

也就是說在情況(a)下沒有Zeno行為。

綜上所述，系統(11)在事件觸發機制(13)下無Zeno行為，證明完畢。

接下來將設計控制增益矩陣Ki1，Ki2，Pk和事件觸發參數β，ζ，π,為此需要以下假設。

定理3 如果對于給定的常數α，?，λ1，λ2，λ3和λ4，存在正定矩陣H1，H2，M1，M2∈Rn×n和常數矩陣Z1，Z2∈Rn×m，Y1，Y2∈Rs×n使得

(33)

(34)

其中

則系統(11)在事件觸發機制(13)下是輸入到狀態穩定的。

此外，控制增益矩陣Ki1，Ki2，Pk和事件觸發參數β，ζ，π由以下方式設計

(35)

3 數值例子

在本節中，將給出一個數值例子來驗證理論結果的有效性。

考慮(1)式的第i層神經網絡為一個雙神經元的神經網絡

yi(t)=Eixi(t)

狀態觀測值

其中f(x)=(f1(x),f2(x))T=(tanh(x),tanh(x))T,τ=1,M=3

假設系統(1)由7個耦合的時滯神經網絡組成，并給定耦合矩陣

同時將系統(1)分成3個集群分別為C1={1,2,3}，C2={4,5},C3={6,7}.

初始值設定為：

rk(t)=(0.8,8)T，t∈[-1,0]，k=1,2,3.

x1(t)=x4(t)=x6(t)=(4,7)T,t∈[-1,0]

事件觸發機制的參數范圍為：0<β1<0.0910×103,0<β2<0.2254×103,0<β3<0.3033×103,ζi>0,0<π1=π2=π3<0.5556，從而可實現輸入到狀態聚同步的控制性能。

為了更好地模擬，選擇事件觸發參數為

β1=0.0728×10-3β2=0.1803×10-3β3=0.2426×10-3

ζ1=ζ2=ζ3=0.1，π1=π2=π3=0.4444

從而事件觸發機制(13)設計為

則，當i∈C1時，

當i∈C2時，

當i∈C3時，

9.7775≤r1≤11.2511,9.8734≤r2≤11.2511,10.4254≤r3≤11.2511

令r1=r2=r3=10.5，則定理1的條件均滿足，因此可以得到系統(1)的所有節點是輸入到狀態聚同步的。

通過圖 1、2、3，可以看出在集群C1，C2，C3中的節點分別在控制器ui1,ui2,ui3,i∈{1,2,…,7}的控制下達到了輸入到狀態聚同步。圖4則顯示了所有節點的跟蹤誤差的狀態，通過圖4可以發現在一定時間之后系統的跟蹤誤差為0，也就是說在系統達到輸入到狀態聚同步之后，系統的觀測值與真實值幾乎相等。圖5顯示了這7個節點的觸發時刻，通過圖可以發現，每一個節點都沒有出現Zeno行為，而且每個節點都有自己的時間觸發序列。圖6和圖7則顯示了每個節點的事件觸發控制輸入ui1，ui2，ui3，i∈{1,2,…,7}的狀態。

圖1 誤差系統e1,e2,e3的狀態圖

圖2 誤差系統e4,e5的狀態圖

圖3 誤差系統e6,e7的狀態圖

圖4 跟蹤誤差系統狀態

圖5 第i個節點的觸發時間序列

圖6 節點1，2，3，4的控制輸入u1(t)、u2(t)和u3(t)的狀態

圖7 節點5，6，7的控制輸入u1(t)、u2(t)和u3(t)的狀態

4 總結

本文研究了一類具有時滯的非線性耦合神經網絡的輸入到狀態聚同步問題。首先根據不同集群中的節點構造了相應的誤差系統，然后再由誤差系統和跟蹤誤差系統構造了相應的增廣系統，通過證明增廣系統的輸入到狀態穩定，從而得到了原系統輸入到狀態的聚同步。通過本文中構造的基于觀測值的事件觸發脈沖控制，得到了原系統輸入到狀態聚同步的充分條件，同樣排除了系統的Zeno行為。在本文中，系統的連接拓撲是不變的，但是在實際中也有許多系統是可變拓撲，例如順序連接拓撲，聯合連接拓撲等等，因此在同樣的情況下研究可變拓撲的系統是十分有意義的，這也是在將來的工作中我們所要考慮的。