中學數學解題教學之我見(下)

鄭毓信 (南京大學哲學系 210093)

3 數學解題教學的若干實例

這是陳永明老師《數學習題教學研究》的一個重要特點，即是對于“解題經驗的顯性化、算法化”的突出強調，包括這樣兩個重要的“數學認知結構”：“解題模塊”和“命題聯想系統”，后者集中體現了他所提出的在“層次原則”以外的又一原則：歸一原則，即是我們應當善于“把解題的經驗總結歸納”．[1]54

具體地說，這里所說的“解題模塊”與一般所謂的“問題歸類”有很大的一致性，而主要的不同點就是將相應的解題方法歸結成了明確算法，并希望借此即可幫助大多數學生有效地解決問題．以下就是這方面的一個典型實例：“解條件求值題的一般方法”(圖2)[1]11-12．

圖1

另外，所謂的“命題聯想系統”則是指我們應將各個相關命題，特別是所謂的“等價命題”“下游命題”和“上游命題”深深地印刻在頭腦中，從而在解題時就可方便地加以應用．[1]18-24

陳永明老師對為什么要特別重視“解題經驗顯性化、算法化”做了如下說明：這有益于大多數學生做到所謂的“中巧”；“小巧固然不足取，大巧也確實太難，對于大多數學子，還要重視有章可循的招式……大巧法無定法，小巧一題一法．中巧呢，則希望用一個方法解出一類題目，也就是說，把數學問題分門別類，一類一類地尋求可以機械執行的方法，即算法．”[1]前言

上述做法在現實中應當說會有一定效果，但這主要是就“提升學生的解題率，并使他們負擔不重”而言的；而如果依據數學教育基本目標進行分析，突出解題經驗的算法化和程序化就應說不夠恰當，因為，解題教學的基本目標也應是努力促進學生思維的發展、包括努力提升他們的創造能力，這顯然與“思維的機械化和算法化”直接相沖突．

進而，這事實上也可被看成國外相關研究的一個重要啟示或教訓，即解題策略的研究不宜過細、過死．例如，由于認為波利亞給出的各個解題策略過于一般從而就不便于人們應用，舍費爾德就曾試圖對此做出更細致的說明，他還明確地給出了關于如何從事解題策略教學的以下建議：(1)使隱含的過程明朗化；(2)讓學生就這些過程進行討論；(3)提供有指導的實踐；(4)確保學生牢固地掌握相關的程序；(5)既注意定性的理解，也注重具體程序．[7]顯然，這與上述主張有很大的一致性；但是盡管舍費爾德在這方面投入了很大力量，包括積極的教學實踐，但最終卻未能取得很好的效果．

當然，以上論述不應被理解成對于思維顯性化(明朗化)和算法化(程序化)的完全否定，毋寧說，這更清楚地表明了堅持促進學生思維發展與啟發性研究這一立場的重要性．就這方面的具體教學工作而言，與任一固定算法或程序的學習和應用相比，我們應當更加重視促進學生積極進行思考，特別是，如何能夠真正做好“一題多解”與“比較和優化”．另外，教學中我們還應特別突出“以正合，以奇勝”這樣一個思想，而不應以任何一種方法或策略對學生的思維做出強行的規范．

應當指出，相關作者在上述方面事實上也有清醒的認識．例如由書中提到的“有序分析原則”就可清楚地看出，特別是這樣一點：“一般情況下，思考時通法優先，如果找到了通法，心里有了個底．這時候，應該再尋找有沒有更好的解法……在種種解法中，能夠找到‘一眼看穿’問題本質的‘巧法’……問題可以輕而易舉地解決了，就更應重視．”[1]112

其次，就中國的數學“解題學”研究而言，我們當然又應特別提及陜西師范大學羅增儒教授的相關工作：他自20世紀80年代起一直在這一領域中辛勤耕耘，不僅出版了多部專著，還通過積極參與教師培訓對實際教學產生了廣泛影響．

以下就是他在《數學解題學引論》中引入的十個解題策略：模式識別、映射化歸、差異分析、分合并用、進退互化、正反相輔、動靜轉換、數形結合、有效增設、以美啟真．顯然，與波利亞的解題策略相比，這一工作更加突出了對立面之間的辯證關系，而這事實上也可被看成國內諸多相關研究的一個共同特點．例如，任樟輝教授在《數學思維論》一書中所提出的十個思維原則顯然也可被看成這方面的又一實例：“以簡馭繁、進退互用、數形遷移、化生為熟、正難則反、倒順相通、動靜轉換、分合相輔、引參求變、以美啟真．”[8]

任樟輝教授在同一著作中還曾以波利亞的四種思維模式與其他一些工作為背景，針對我國中學數學教學內容提出了如下八個主要的思維模式：逼近模式、疊加模式、變換模式、映射模式、方程(或函數)模式、交軌模式、退化模式、遞歸模式，而這事實上也可被看成國內諸多相關研究的又一重要特點，即是與實際教學工作的密切聯系．

當然，這又是我們面對相關工作應當認真思考的一個問題：它們與波利亞的工作相比究竟有什么不同，特別是，這對于我們改進解題教學究竟又有哪些新的啟示？

正是從上述角度進行分析，筆者以為，我們就應特別重視羅增儒教授的以下工作，即是對于“解題反思”(按照前面提及的“學解題的四步驟程式”，這可被歸結為“自覺分析”這樣一個范圍)的突出強調，特別是，我們不僅應對整個解題過程作出全面回顧、總結與反思，即如相應的計算是否準確、推理是否合理、思維是否周密、解法等是否可以進一步優化，而且也應從方法論高度做出進一步的思考，即如我們是否可以由此提煉出某些關于解題的普遍性結論．例如，以下就是羅增儒教授特別強調的兩個步驟：“整體分析”和“信息交合”[4]81-82，因為，借此我們即可更好地把握解題的關鍵與整體的“序”．

再則，盡管這從形式上看似乎與我們先前關于“過細、過死”的批評直接相沖突，但這確又應被看成所有這些研究的一個不足之處，即是因過于一般從而就不利于“新手”應用.但是，筆者以為，我們在此也不應陷入“兩極對立”這一傳統思維模式，而應從一些新的方面進行分析思考．例如，這就是這方面的一個明顯結論，即所有這些“抽象道理”的理解與掌握都離不開具體例子，而且，我們也不應滿足于對別人所舉出例子的學習，還應努力找出自己的例子，包括必要的反例．

更一般地說，相對于單純的學習而言，我們應更加重視理論的實踐性解讀，包括通過積極的解題實踐做出自己的總結和反思．以下就依據這一立場給出筆者關于如何做好解題教學的簡要總結．

4 解題教學的關鍵

第一，問題的歸類與辨識．

即使就日常認識活動而言，問題的分類與辨識顯然也有特別的重要性：這直接關系到了我們如何能夠有效地應用已有的知識和技能、包括經由長期實踐獲得的經驗去解決新的問題，而不是次次都要“從頭開始”，從而耗費大量的時間和精力.另外，這也與數學的本質特點密切相關：作為“模式的科學”，數學并非真實事物或現象量性屬性的直接研究，而是以抽象思維的產物、也即“模式”作為研究的對象，其所反映的則是一類事物或現象在量的方面的共同特性，進而，我們在此又無非是將“模式”的概念推廣應用到了“問題”之上，這也就是指，我們應當超出各個特例、并從更一般的角度把握各個“基本題型”的意義．

正如前面所提及的，我們在此還應特別重視“變式理論”的指導，包括借此幫助學生很好地認識問題的“深層結構”．(這方面一個很好的例子可見文[6]第90-93頁.)

再則，這又可被看成“由簡單到復雜、化復雜為簡單”這一普遍性認識規律在這一方面的具體體現，即為了切實提高學生的辨識能力，我們應由單一的問題類型逐步過渡到所謂的“綜合題”，包括通過教學幫助學生很好掌握這樣兩個關鍵性環節，即“分”與“合”，以及對于整體性的“序”的很好把握．

第二，解題與學生思維品質的提升．

解題教學當然不能停留于“題型的學習與識別”，包括“解題方法的算法化或程序化”，不然的話就一定會陷入“題海戰術”，也即問題分類越來越多，解題策略越搞越細；恰恰相反，教學中應當引入更多的“非常規問題”，也即應當要求學生創造性地應用已學到的知識、技能和解題策略解決各種較復雜的問題．當然，相關教學也不應停留于簡單示范，而應更加重視解題思路的分析，因為“單純地增加練習量不是促進理解的好途徑，只暴露結論的發現、思路探求的思維過程也還不夠．”[6]74

在此我們還應特別重視分析視角的轉變，也即應當超出單純的解題策略并從更高層面進行分析思考，因為解決問題事實上不只涉及了解題策略或相關的數學思想，也取決于思維的品質，特別是這樣幾點：

(1)聯系的觀點與思維的深刻性

顯然，問題的歸類即已用到了“聯系的觀點”，也即所謂的“舉三反一”或“求同存異”；另外，從同一角度我們也可更好理解上面已提及的一些工作．例如，注意分析對象之間的共同點與不同點即可被看成“差異分析”的核心；另外，對于所謂的“命題聯想系統”我們就不應局限于“等價命題”“下游命題”和“上游命題”，而是應當依據相關研究對此做出進一步的擴展．例如，按照“多元表征理論”，我們就不僅應當善于在“數”和“形”之間做出適當轉換，也應從更多方面做出新的思考，如由單純地“畫”擴展到清楚地“說”，包括自然語言與數學語言的適當轉換；另外，從同一角度我們也可更好理解幾何學習中引入“向量”這一表征方法的意義．

(2)變化的思想與思維的靈活性

上面已經提及，為了提高學生解決問題的能力，關鍵不在于引入更多題型，而是促進學生積極的思考，特別是努力提升思維的靈活性和創造性．例如，所謂的“逆向思維”顯然就可被看成通過適當變化、也即思路調整解決問題的典型例子；另外，更廣義地說，我們也可將引入“輔助問題”歸結為“求變”的范圍，這相對于現成解題模式的簡單應用并可說體現了更高層次的一個策略，包括“變化的思想”與“聯系的觀點”的綜合應用．

當然，作為普遍性解題方法，我們在此又應特別提及化歸的方法，又由于我們在此所希望的即是通過化歸順利地解決問題，因此，教學中我們又應特別強調化歸的方向：“化未知為已知、化繁為簡、化難為易”；另外，我們在教學中還應對于“特殊化”與“一般化”予以特別的強調，因為這正是數學中實現化歸最重要的兩個手段或方法——在一些學者看來，這更可被看成數學思維的核心所在．(文[2]第2.2節)

(3)總結、反思和再認識與思維的自覺性

這也應被看成解題教學的又一重要目標，即幫助學生逐步養成“長時間思考”與反思的習慣與能力．具體地說，無論就較復雜問題的求解、或是解題方法或策略的學習而言，顯然都有一個較長的過程，而這又正是日常思維的主要局限性，即是“快思”占據了主導的地位，并常常會導致一些系統性的錯誤，正因為此，我們在解題教學中就應有意識地幫助學生學會長時間的思考，包括努力創設必要的外部環境或課堂氛圍．[9]當然，作為這方面的具體實踐，我們又不應以思考時間的長短作為主要的判斷標準，而應更加重視思維的品質，特別是，我們應適當放慢節奏對所從事的解題活動做出及時的自我評價與調整，以及對于已完成工作的“再認識”，而這當然也就意味著主體在這方面實現了更大的自覺性．

如果采取現代認知心理學的術語，那么對于上面論述我們就可歸屬于“元認知”這樣一個范疇，人們在這方面有這樣一點共識：對于元認知的高度重視正是波利亞以后人們在“問題解決”的研究中所取得的最重要進展.這也就是指，除去“知識的儲備”與“啟發法的學習”，我們也應將“元認知”(以及“觀念”)看成解題能力十分重要的一個方面．

顯然，按照上述分析，對于所說的“總結、反思與再認識”我們也就不應局限于單純的“題后反思”，而應將相關思想很好地貫穿于全部的教學活動．

就這方面的具體教學工作而言，我們還應特別強調這樣一點，即是解題活動的動態性質．以下就借助“問題空間”這一概念對此做出簡要說明：所謂“問題空間”，即指解題過程中解題者關于任務的內在表征，包括問題的現有狀態、目標狀態以及兩者之間的差別，可以執行的操作、實行后可能達到的中間狀態等多個方面的認識；進而，解題過程就可以被看成“問題空間”的不斷轉換：解題者通過閱讀問題和理解建構起了最初的“問題空間”；然后，隨著與來自外部和長時記憶的信息的“接觸”，“問題空間”不斷發生新的變化，即變得更加豐富和更加精致；最后，問題的解決就取決于解題者能否成功地建構出關于所面臨問題的一個合適的內在表征．

例如，從上述角度我們顯然即可更好認識“遞歸方法”的重要性．這也就如波利亞所指出的，“在解題的每一階段，我們都把關于一個新的分量的知識加到已經得到的知識上去，在每一階段，我們又都要用已經得到的知識去得出更多的知識，我們要靠逐省逐省的占領去最后征服一個王國．在每個階段，我們利用已被征服的省份作為行動基地去征服下一個省份．”[10]更一般地說，這也正是我們為什么應當特別重視“再認識”的主要原因．

最后，上述分析顯然也可以看成對于解題教學提出了更高要求；當然，我們在此也應十分重視對學生認知水平的分析，即不應脫離學生的實際水平提出過高的要求．更一般地說，即我們應通過自己的教學使得相應的思維過程對于學生而言真正成為可以理解的、可以學到手和加以推廣應用的，也即是十分自然和合理的[11]；當然，我們在教學中也應很好地突出“以正合，以奇勝”這樣一個思想！

第三，努力做好“就題論道”．

除去必要的指導以外，我們在教學中顯然還應很好落實學生的主體地位，包括努力促使他們在這一方面實現更大的自覺性，如我們究竟應由具體的解題活動“領悟”些什么？什么又應被看成“自覺分析”的真正重點？

正如前面所提及的，我們應努力與學生在這一方面形成明確共識，從而也就有了真正的共同追求，包括我們究竟為什么應當特別重視解題的教學和學習？

當然，我們在此又應超出數學知識與技能的學習去進行思考；另外，在筆者看來，這事實上也可被看成以下一些論述所給予我們的主要啟示：“沒有解題的數學學習總給人一種尚未深入到實質或尚未進入到高潮的感覺”，解題更可被看成數學的“興奮中心”；我們還可“通過解題水平看數學思維水平”．[4]又，“教學生解題是意志的教育．當學生求解那些對他來說并不太容易的題目時，他學會了敗而不餒，學會了贊賞微小的進展，學會了等待主要的念頭，學會了當主要念頭出現后全力以赴．如果學生在學校里沒有機會嘗盡求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數學教育就在最重要的地方失敗了．”[6]92-93

另外，從同一角度我們事實上也可更好地認識單純強調“解題教學”、包括“問題解決”的局限性．應當指出的是，國際上的相關研究也已在這方面為我們提供了重要佐證．例如，國際數學教育界通過對“問題解決”這一改革運動進行反思引出的一個主要結論是：與單純強調“問題解決”相比，我們應當更明確地主張“求取解答并繼續前進”；再則，作為“問題解決”研究在當代的主要代表人物，舍費爾德教授也曾明確提及：“盡管我在1985年出版的書用了《數學問題解決》這樣一個名稱，我現在認識到這一名稱的選用是不很恰當的．我所考慮的是：單純的問題解決的思想過于狹窄了．我所希望的并非僅僅是教會我的學生解決問題，特別是別人提出的問題，而是幫助他們學會數學地思維．”[12]

進一步說，我們顯然也不應將“數學解題教學”與“數學知識教學”絕對地對立起來，而應更加重視兩者的相互滲透，即應以思維方法的分析帶動具體數學知識的教學，從而將數學課真正“講活、講懂、講深”，特別是，不僅能夠幫助學生很好地掌握相關的知識和技能，也能領會到內在的思維方法，包括努力提升思維的品質．[11]當然，相關工作也可使學生更好地體會到數學思維的力量，從而真正起到言傳身教的作用，包括很好地體現這樣一個基本原則：“數學思維的學習，不應求全，而應求用．”

最后，筆者以為，上述工作也直接關系到這樣一個問題，即我們如何能夠有效地消除中小學數學教學之間存在的巨大間隔，特別是，我們決不應讓我們的學生由較開放的數學學習轉向單一的解題學習，乃至越來越深地陷入“題海戰術”與機械學習，從而也就必然地越來越不喜歡數學，越來越不喜歡思考．