基于數學理解 設計概念教學
——“函數的零點”教學設計與反思*>

高 敏 (江蘇省睢寧高級中學 221200)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生通過主題一(預備知識)的學習初步形成借助直觀理解概念，進行邏輯推理的思維習慣和獨立思考、合作交流的學習習慣．

1.2 教材分析

“函數的零點”一課是第八章“函數應用”的第一小節內容，而研究函數與方程的關系和運用函數的知識研究方程的解是本章研究的重點．教學中要引導學生在熟悉的二次函數數學情境中，建立函數零點的概念及函數零點與方程解的關系；引導學生交流，能夠用一般性的語言解釋具體的現象，抽象總結出零點存在定理，提升學生的數學抽象和直觀想象核心素養．

教學目標 (1)結合學習過的具體二次函數圖象及二次方程根的問題，建立函數零點與方程解的關系； (2)結合具體連續函數及其圖象的特點，總結函數零點存在定理；(3)從函數的觀點認識方程，提升數學抽象和直觀想象核心素養．

教學重點 結合二次函數圖象，通過問題串引導學生交流、探究得到函數零點與方程解的關系．

教學難點 探究零點存在定理并能夠理解和應用．

2 教學過程

2.1 創設情境，提出問題

問題1一元二次方程x2- 2x- 1 = 0的根與二次函數y=x2- 2x- 1的圖象有什么關系？與二次函數y=x2- 2x- 1的圖象與x軸交點之間有怎樣的關系？與二次函數y=x2- 2x- 1的關系如何？

設計說明英國的皮里(Susan Pirie)和加拿大的基倫(Thomas Kieren)提出“超回歸”數學理解模型，這個模型是以認知觀點比較全面地認識數學理解的理論，它直觀地描述了學生理解一個數學概念的全過程，將數學理解分為八個水平，分別為原始認知、產生表象、形成表象、關注性質、形式化、觀察反思、結構化和發明創造．

學生已有的知識經驗是進行理解性學習的前提條件，這里學生的“原始認知”是一元二次方程和二次函數，讓學生從熟悉的具體的一元二次方程和二次函數出發，教師通過問題串不斷追問的同時，學生對數學知識間的內在聯系也越來越明晰,即二次方程的根就是二次函數圖象與x軸交點的橫坐標，也即是使二次函數的值為0的實數x．

2.2 抽象概括，感知概念

問題2一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象有什么關系？請同學們畫出函數圖象，結合圖象找關系．

問題3若一元二次方程沒有實數解呢？

前面我們學習過，使二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的值為0的實數x稱為二次函數y=ax2+bx+c(a≠ 0)的零點．

問題4二次函數y=ax2+bx+c(a≠ 0)的零點是一個點嗎？如果不是，為什么叫做零點？一般地，方程f(x)=0有實根、函數y=f(x)的圖象與x軸有交點、函數y=f(x)有零點之間是怎樣的關系？

通過討論，學生明確了如下概念與結論：

(1)函數零點的概念：使函數y=f(x)的值為0的實數x稱為函數y=f(x)的零點．它是一個實數，不是一個點．

(2)函數y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數解，也即是函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．

(3)方程f(x)=0有實數解(數值特征)?函數y=f(x)有零點?函數y=f(x)的圖象與x軸有公共點(圖形特征)．

設計說明“產生表象”和“形成表象”都屬于“表象階段”，是最重要和最基本的理解水平之一，表象是指數學學習、思考過程中的“心理圖形”，“表象”往往比數學概念更加直觀具體、生動形象，形式也豐富多樣．那么，講到“函數零點”時，學生頭腦中首先反映的應該是函數的圖象與函數零點的對應關系．把具體的二次函數抽象為一般的二次函數，再進一步抽象為一般函數，同時也給出了用函數的方法來解決方程解的方法，讓學生體會數形結合和轉化與化歸的基本思想在研究數學問題中的應用．但學生此時的表象有可能是錯誤的，比如:有些學生會錯誤地認為零點是一個點，這就需要教師及時引導發現已有表象存在的問題．在這里，通過設計辨析性的問題，讓學生進一步觀察、交流、討論，加深對函數零點概念的理解．

2.3 操作驗證，探求歸納

問題5通過前面的探究，我們知道函數f(x)=x2-2x-1存在零點，那么它在區間(2,3)內是否存在零點？結合之前的研究，我們可以從何種角度來探求這個問題？

設計說明這里首先從滲透解題策略指導的角度發問，學生很容易規范表述：(1)從數值特征出發，求出方程的根，判斷它是否在區間(2,3)內；(2)從圖形特征入手，作出函數圖象，判斷函數圖象與x軸的交點是否在區間(2,3)內．

問題6怎樣判斷函數圖象與x軸的交點是否在區間(2,3)內？

設計說明這個問題，會有學生回答求出交點的橫坐標，但很快會意識到這樣做就違背了圖形特征入手的初衷，或體現不出從圖形角度出發的優勢.這勢必會促進學生進一步進行數學探究，體現逐步遞進，為零點存在定理作鋪墊，從而發展學生思維的創新性．

放手讓學生充分討論，并結合圖象把自己的想法表達出來．教學中出現了形象化的表述：函數圖象在區間(2,3)內穿過x軸．“表象”只是用來理解和記憶的一種思維媒介，它不能代替語言的精確概括．精確定義數學概念就是模型的第五水平“形式化”．

問題7你能否說說零點附近函數值的變化？能否用數學符號表示？

設計說明引導學生用數學符號語言零點附近函數值的變化情況，將圖形特征再次轉化為代數表示．

問題8函數圖象與x軸的交點是否在區間(-1,0)內？

設計說明由f(2)<0,f(3)>0到f(-1)>0,f(0)<0，再進一步過渡到f(2)f(3)<0，f(-1)f(0)<0，由特殊到一般，通過具體的函數抽象概括出共同的特征，初步構建函數零點存在定理．數學理解模型的第六個水平“觀察評述”就是學生用自己的語言描述概念、性質．學生先做活動，再做表達，當語言表達有困難或表述不清時，再回到活動，捋順思路，重新表達，活動與表達互補，完成這個水平的理解．

問題9如果函數y=f(x)滿足f(a)f(b)<0，那么y=f(x)在區間(a,b)內是否一定存在零點？請舉例說明．

問題10如果函數y=f(x)在區間(a,b)內存在零點,那么是否一定有f(a)f(b)<0？請舉例說明．

問題11如果函數y=f(x)滿足f(a)f(b)>0，那么y=f(x)在區間(a,b)內是否一定沒有零點？請舉例說明．

問題12如果函數y=f(x)在區間(a,b)內滿足f(a)f(b)<0，那么函數y=f(x)在(a,b)內有多少個零點？請舉例說明．

設計說明通過提出思辨性的問題，讓學生的思維爬升，進一步理解函數零點存在定理．探究過程中通過問題導引打開學生的視角和思路,逐步明確：要確保函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，需滿足f(a)f(b)<0→要求圖象在[a,b]上連續不斷→滿足f(a)f(b)<0是函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點的充分條件→函數零點存在定理的逆命題不成立→完善、嚴謹表達函數零點存在定理．引導學生進行結構化的分析，即數學理解模型的第六個水平“結構化”．數學理解不是一個“一步登天”的過程，它需要反復建構，我們應不斷鼓勵學生通過探索圖形特征大膽猜想、小心求證、抽象思辨，強調學生的積極參與，點燃學生的熱情，讓學生在思考與交流的過程中不斷完善理解、深化認識，學習到數學知識的本質，從而發展理解水平，培養創新能力．

2.4 練習鞏固，反思拓展

例1函數f(x)=x3+x2+ 1在區間(-2,-1)內有零點嗎？在(-2,1)內呢？若把函數變為y=x3+x2- 1呢？變為y=x3+x2+ 3呢？先思考上述問題，然后借助圖形計算器驗證，說出各自零點的個數．通過例1的研究，你能得出什么結論？

設計說明例1的設置可以讓學生及時鞏固函數零點存在定理，通過改變區間和函數讓學生認識到f(a)f(b)<0只能說明零點存在，是充分條件但不是必要條件，同時也不能判斷零點的個數．可以追問：要想確定零點只有一個，還需要說明什么？引導學生借助函數性質來進一步探究．數學理解是一個循序漸進的過程，通過函數的改變和圖形計算器的使用，為學生提供主動學習、主動探究的機會，促進學生的理解和記憶；問題的不斷深入也能讓學生學會反思，在反思中深化理解，抓住數學本質，從而建立全面、準確、完整的數學認知結構．

例2判斷函數f(x) = 2x+2x-3是否有零點？若有，有幾個？

設計說明例2和例1的區別在于：例1給定了區間，而例2沒有．學生拿到這個問題的首要任務就是要確定一個大致的區間，讓學生自己動手，想辦法找區間，判斷零點的大致位置．(1)學生嘗試取值，用零點存在定理解答；(2)引導學生數形結合，通過畫出函數y=2x和y=3-2x的圖象，大致判斷零點的位置；(3)學生借助圖形計算器驗證零點存在，同時也可以從圖象上判斷零點只有一個.追問：如何證明零點只有一個？進一步引導學生結合函數的單調性證明函數零點的唯一性．“超回歸”數學理解模型強調理解需要“回歸”，具有“往復性”，“回歸”是數學理解發展過程中必不可少的環節，通過不斷地反思、追問、練習，不斷重組、建構知識結構，從直觀到嚴謹，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神．

問題13你能將函數f(x)=2x+2x-3的零點所在區間盡量縮小嗎？

設計說明為下節課學習“用二分法求方程近似解”做好鋪墊，埋下伏筆．

2.5 課堂總結，歸納升華

回顧、梳理:本節課你掌握了哪些知識點？用到了哪些數學思想方法和思維方法？

設計說明通過課堂總結，學生能夠對整堂課的內容進行梳理，建立系統的知識結構．這個活動很重要，學生自主梳理知識的形成過程和思維主線有助于鞏固、內化、遷移所學知識，達到系統的、結構性的理解．值得注意的是，這個過程可能學生一開始不太習慣，不知道如何回答，這需要教師耐心地加強指導．

3 回顧與反思

3.1 教學設計的思路

圖1簡單說明了“超回歸”數學理解模型幾個水平在本節課中的體現．不論是課標對教學的要求還是教師對學生的要求，學生學習數學都是以數學理解為最終目標的．設計中要把知識的發展和學生的認知發展有機融合，深刻引導學生進行理解性學習，實現數學理解性教學．

圖1

3.2 教學反思

(1)基于已有的認知結構，創設有意義的情境

一方面從學生熟悉的、具體的一元二次方程和二次函數出發，通過觀察圖象解釋函數與方程之間的聯系，凸顯方程的根和函數零點的關系，抽象出函數零點的概念，數和形雙管齊下，讓學生體會知識的自然生成過程；另一方面要借助新舊知識的矛盾激發認知沖突，讓學生思維有實質性的參與．

(2) 問題串引導探究發現，加深理解數學本質

學生經歷觀察圖象，分析圖形特征，抽象概念、定理或結論，突出的是數學直覺，而要實現從感性到理性，需要學生自己動手，真正參與探究和辨析的過程，確保學生有想清楚弄明白的機會，通過質疑思辨，讓概念表達更準確、定理敘述更嚴謹．

(3) 反思知識形成的過程與方法，深化數學理解

引導學生從數學現象中發現數學本質，對知識的形成進行反思：如何理解函數零點的概念和零點存在定理？認識是否完整？表達是否準確合理？有沒有哪些地方容易理解錯誤，產生混亂？能否用符號表述？概念和定理的形成過程體現了哪些數學思想方法？由此有效地引導學生理解概念，整體把握數學本質，實現數學能力的發展，提升學科核心素養．