立足數學現實 促進思維進階

錢衛華 (浙江省安吉縣實驗初級中學 313300)

“數學現實”是荷蘭數學教育家弗賴登塔爾提出的概念，其含義是每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數學概念、運算方法、規律和有關的數學知識結構．就數學教育而言，即指學生用已掌握的數學知識與方法認識、解決數學問題的現實水平及層次，也包括學生在此過程中所獲得的認識．數學思維進階教學是一種基于數學核心素養的教學，主張從學生的“數學現實”出發，構建深入體驗、漸進感悟、進階提升的思維生長環境，讓學生在體驗中感悟，經歷認知結構的形成與深化，促進思維進階發展，形成思維意識，促使學生的核心素養得到萌發與成長．數學思維進階教學強調立足“數學現實”、促進思維進階、形成思維意識三個核心理念，是促進學生思維進階、提升學生核心素養的一條重要途徑．下面以浙教版九年級上冊第三章《圓的基本性質》第3節“垂徑定理”(第2課時)為例，談談數學思維進階教學的操作范式及相關思考．

1 基本情況

教材說明 浙教版九年級上冊第三章《圓的基本性質》第3節“垂徑定理”(第2課時)．

學情分析 八年級學生已經學習了軸對稱圖形，也學習了特殊三角形、四邊形的軸對稱性，而圓也是具有軸對稱性的一種重要圖形．“垂徑定理及逆定理”揭示了垂直于弦的直徑和這條弦及其所對弧的內在關系，是圓的軸對稱性的具體化，是從定性關系到定量關系的轉化和提升，是圓有關問題的計算工具，也是今后證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據．本節課在學習“垂徑定理”的基礎上，通過垂徑定理逆定理的推導等教學過程，滲透類比、轉化等數學思想和方法，培養學生實驗、觀察、猜想、抽象、概括、推理等邏輯思維能力和識圖能力，進一步培養學生的幾何直觀性、建模能力、思維的嚴謹性，使學生的認識由感性到理性、從具體到抽象、從單向到雙向，讓學生思維的嚴謹性、豐富性得以進階發展，核心素養得以落地生根．

教學重點 垂徑定理的逆定理.

教學難點 例3的問題情境較為復雜，圓的軸對稱性思想意識的形成是難點.

教學目標 經歷探索垂徑定理的逆定理的過程；掌握定理“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧”及定理“平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦”；會運用垂徑定理的逆定理解決相關的幾何問題.

2 教學過程

環節1 復習回顧，提出問題

問題1如圖1，已知圓O的半徑為2，AB為圓O的一條弦，弦心距OC為1，求弦AB的長．

圖1 圖2

問題1比較簡單， 教學中借此回顧垂徑定理的條件和結論．針對問題2的討論如下：

生1：因為P是AB中點，所以OP⊥AB，由勾股定理可算出OP．

生2：為什么OP⊥AB？

生1：因為問題1中OC⊥AB，此時C是AB中點；而這里P是AB中點，反過來，我猜想OP也應該垂直于AB．

師：有想法，很好！但是光猜想沒證明還不夠嚴謹．其實剛才生1意識到了問題2實質是問題1的逆命題，也就給大家提出了垂徑定理的一個逆命題——平分弦的直徑垂直于弦，平分弦所對的弧．這個命題是真命題嗎？如何證明？

數學現實學生已有的“數學現實”是掌握了直徑垂直于弦，可推得直徑平分弦、平分弦所對的弧，要構造的“數學現實”是掌握平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦、平分弦所對的弧，平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦．因此問題1、2的設計主要基于學生的“數學現實”，利用學生思維的矛盾處，抓住學生的求知欲，自然引出問題，激發學生的思維興趣，使學生能積極投入到學習中，為學生思維的鎖定和思維積極性的提升奠定基石．

環節2 探究新知，解決問題

生3：連結OA，OB，由等腰三角形三線合一可得OP⊥AB．

師：一定成立嗎？有沒有補充？

生4：特殊地，當AB為直徑時，兩條直徑一定互相平分，但不一定垂直．

師：很好！事實上，除去這種特殊情況，這個逆命題是真命題，我們概括一下就是垂徑定理的一個逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦、平分弦所對的弧．用這個逆定理你能解決問題2了嗎？

圖3

數學現實學生根據已有的“數學現實”(垂徑定理)，由圖形的直觀性自然提出猜想(垂徑定理逆定理)，既說明了學生初步具有該定理基本圖形的幾何直觀性，同時也暴露出思維缺乏嚴謹性，通過問題解決自然生成新的“數學現實”(垂徑定理逆定理)．因此，這樣設計從學生已有現實出發，激活學生思維最近發展區，自然合理，符合學生的心理特征，為教學的順利開展奠定基礎．

思維進階利用學生強烈的求知欲有效激發學生的興趣，開啟學生主動參與思考的興奮點；通過追問，巧妙抓住問題的內在聯系，利用問題的生成、分析、解決，在問題由具體到抽象的過程中，學生經歷由感性的猜想發展為理性的推理，思維自然從識記進階到領會，數學抽象、邏輯推理的素養也得以培養．

環節3 鞏固訓練，感悟新知

圖4

問題4如圖4，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點．

教學中，學生發言積極，有學生講錯了，其他學生馬上糾正，課堂氣氛活躍.學生對三個定理的條件、結論的認知在思辨中逐步清晰起來．

數學現實垂徑定理及兩個逆定理都是圓軸對稱性的體現，但具體應用時學生容易混淆相關的條件及結論．此時，學生的“數學現實”是初步掌握了垂徑定理逆定理，但對三個定理的內在關系理解還不夠深入，思維還處于興奮而又混沌的狀態，所以此時趁熱打鐵，及時鞏固、梳理對知識的深入理解和培養學生思維嚴謹性事半功倍．問題4的設計具有明顯的對比性，這樣及時通過訓練、感悟，使學生能正確區分相關定理并應用，從而使學生對相關定理理解更深入，使新生成的“數學現實”更牢固；另一方面，也通過練習逐步建立半弦長、弦心距、半徑這一基本圖形，為下一步學生建立直觀想象、數學建模打下基礎．

思維進階培養學生思維的嚴謹性是幾何教學的重點．在教學中，讓學生說出各問題解決的依據，通過這樣的比較、梳理，在問題的辨析中碰撞出思維的火花，有助于學生的思維再興奮，深入領會相關知識聯系，有效培養思維的嚴謹性，促進思維生長.學生的思維逐步從領會進階到應用．

環節4 變式訓練，提煉本質

圖5

問題5如圖5，圓O的直徑PQ分別交弦AB,CD于點M，N，AM=BM，AB∥CD．求證：DN=CN．

問題6回顧垂徑定理及兩個逆定理，能否用一句話概括這三個定理？

學生對問題5及變式反應迅速，但對問題6還需教師啟發．

師：剛才問題4的計算和問題5及變式的證明都是利用了垂徑定理及逆定理．請同學們比較、總結一下，這三個定理實質是圍繞哪幾個條件、結論？它們都體現了圓的哪種性質？

生：我明白了！實際上這三個定理就是直徑垂直于弦、直徑平分弦(不是直徑)、直徑平分弦所對的弧．這三個條件中只要有一個成立，另兩個一定成立．本質都是圓的軸對稱性的體現．

師：很好！大家認識到圓的軸對稱性的真諦了！

數學現實在前面研究的基礎上，學生已經能解決半徑、弦長、弦心距的相關計算，理解、區分這三個定理的條件及結論，但學生對知識的認識還是零散不系統的，沒有形成認知結構、領悟知識本質，還未形成一個整體．在此基礎上，由問題5及變式，通過相關的證明，讓學生再次理解、感悟這三個定理的內在聯系.問題6揭示、提煉問題本質：垂徑定理及逆定理是圓軸對稱性的具體體現，體現在直徑垂直于弦、直徑平分弦(不是直徑)、直徑平分弦所對的弧這三個條件中只要有一個成立，另兩個一定成立．在過程的體驗中，通過計算、推理、提煉、概括，學生的理解逐步深入，自然構造并有機地發展了學生的“數學現實”．

思維進階通過研究問題的逐步深入，理解、揭示、提煉本質，使學生對圓的軸對稱性理解完整、深刻，促使學生的思維逐步由應用進階發展到分析；另一方面，在逐步感悟、建立模型的過程中，有效形成直觀想象、數學建模的素養．

環節5 綜合應用，數學建模

問題7已知趙州橋跨徑(橋拱圓弧所對的弦的長)為37.02 m，拱高(橋拱圓弧的中點到弦的距離)為7.23 m，求趙州橋的橋拱圓弧的半徑(精確到0.1 m)．

師：如何解決？

圖6

生7：把實際問題抽象成數學模型，如圖6，可以利用垂徑定理逆定理2解決．

數學現實數學來源于現實，也必須扎根于現實并且應用于現實．前面的四個環節使學生在原有的“數學現實”基礎上構造并發展了“數學現實”，即理解了圓軸對稱性的內在聯系，具有了一定解決問題的能力，但此時學生的思維還停留在解決純數學問題．從純數學問題到實際問題對學生來說是一種跨越，因為需要綜合的抽象概括能力和數學建模能力，因此實際問題的解決是發展學生“數學現實”的關鍵，也是促進學生思維進階的必由之路．

思維進階在教學中，通過對復雜實踐問題的抽象概括、數學建模，增強了學生的數學應用能力，促使學生思維進階發展為綜合．在前面這些體驗、感悟、建模過程中，學生的思維由“識記→領會→應用→分析→綜合”，一步步進階，思維得到深度生長，同時數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模等核心素養也隨之增長．

環節6 評價反思，深化思維

圖7

師：誰來說說自己的想法？

生8：圓和正三角形都是軸對稱圖形，所以這里D，P，O應該共線的，但不知道怎么證明？

師：生6的圖感非常好!從圖形直觀看，D，P，O似乎共線.誰能證明？

數學現實本節課的知識重點是垂徑定理的逆定理，但思想核心是使學生建立圓軸對稱性的思想意識．前面的研究已使學生掌握了垂徑定理及逆定理的內在聯系，但軸對稱性的思想意識還未有效形成．問題8組合了兩種常見的軸對稱圖形，要求學生借助圖感(直觀想象)意識到應用這兩種圖形軸對稱性是解決問題的關鍵，思維素養要求較高，旨在促使學生思想意識的形成，提升學生的思維品質．

思維進階教學中，學生積極參與分析討論，優化解決方案，理性地思考、分析問題，思維活躍，并能對解決的方案作出評價，學生的思維品質得到了深化、提升、完善，思維進一步發展到評價，同時學生的數學素養也有了質的提升．

3 對數學思維進階教學的幾點思考

思維是人的一種高級的心理活動形式，美國教育心理學家布魯姆把學生的思維層次分為六個級別：識記、領會、應用、分析、綜合、評價．顯然，思維從低級到高級的生長必然需要一個進階的過程．《義務教育數學課程標準(2011年版)》關于課程的設計指出，充分考慮本階段學生數學學習的特點，符合學生的認知規律和心理特征，有利于激發學生的學習興趣，引發數學思考；充分考慮數學本身的特點，體現數學的實質；在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程．實際上，就是要求在教學過程中不僅要注重教學任務的順利達成，還要注重教學目標的漸進突破，更要注重學生在整個學習活動中的思維進階生長．針對思維進階教學的特點，需要貫徹以下幾個核心理念．

(1)立足“數學現實”

弗賴登塔爾認為每個人都有自己的一套“數學現實”，作為數學教師，其主要任務是要幫助學生構造“數學現實”并發展學生的“數學現實”．比如，環節3使學生能正確理解、區分垂徑定理及逆定理，但基礎薄弱的學生還理解不透，所以環節4及時給他們創造了一個彌補趕上的機會，而優秀的學生則由計算到推理，思維更清晰深入，每個學生的“數學現實”都能得到相應發展．數學教學設計應充分把握學生現有的“數學現實”，全面了解學生的學習需求，找準教學的出發點，針對學生將要達到的“數學現實”有效整合教學資源、周密設計，調動積極的思維，促使學生有效思考，培養學生的深度思維習慣，促進學生從已有的“數學現實”逐步向更高層次發展．

(2)促進思維進階

立足“數學現實”是有效抓住教學的出發點、終點，但促進學生思維進階是課堂設計的核心．思維進階不是一蹴而就的，是一個進階的過程，設計時要結合教學內容和學生的興趣愛好，注重創設多元化體驗過程，讓學生在體驗和感悟中收獲知識與技能，建構方法與思想，生成思維與智力，促進學生思維進階、核心素養發展．

創設情境，激發思維 根據學生的“數學現實”創設學習情境，讓學生從教學情境中感受數學的魅力，促進學生學習數學的積極性和熱情，從而使學生的思維得到有效激發，迅速投入到學習中，提高課堂教學效率．比如，環節1中問題1源于學生的練習，自然貼切，其變式(問題2)引發學生猜想、爭議，由此抓住契機引出課題．這樣通過思維碰撞，有效激發學生的學習興趣，讓學生直觀感受到數學知識與問題的生成，開啟學生主動參與情境問題思考的興趣和興奮點，為思維的鎖定和思維積極性的提升奠定良好的基礎．

注重過程，生長思維 思維是課堂的生命線．教師必須結合學生的“數學現實”和教學內容，構建一個深入體驗、漸進感悟、進階提升的思維生長過程，學過程圍繞兩條線索：任務線是教學任務的順利達成，教學目標的漸進突破；思維線是借助學生掌握知識的螺旋上升的過程，使思維得以漸進進階，核心素養得以穩步發展．若僅有任務線沒有思維線，課堂就沒有深度，缺乏思想，沒有數學味；僅有思維線沒有任務線，則課堂過于抽象，學生難以接受；兩線結合，則課堂如魚得水，知識螺旋上升為思維進階提供載體，促進思維進階，而思維進階又為知識的深入理解提供思維，推動知識螺旋上升，兩者相輔相成、互相作用、共同發展，從而實現知識生長、思維進階．

比如此案例中6個環節，任務線是回顧垂徑定理，引出并研究逆定理，及時鞏固、感悟定理的內在聯系，揭示、提煉圓軸對稱性本質，然后綜合應用、解決問題、建立模型，形成軸對稱思想意識；思維線是通過學生深入體驗、漸進感悟，思維從“識記→領會→應用→分析→綜合→評價”，兩線交織，逐步推動對圓的軸對稱性的深入理解，形成圓的軸對稱性的思想意識．

體驗成功，成長心理 思維進階教學還要符合學生的年齡心理特點，重視個體思維發展的不平衡性以及心理發展的不平衡性．比如環節1～4，問題設計由淺入深、由表及里，既是對薄弱學生的兼顧又是對優秀學生的提升，這樣，薄弱的學生能及時跟上，優秀的學生能得到展示，大家都體驗到成功的喜悅，積極參與到學習當中．所以教學應當關注學生的差異，要從激發學生探究的興趣和熱情開始，使學生自覺成為學習的主體；始終突出以“學”為中心，從探究的過程中讓學生體驗到思維進階的課堂是有趣的課堂、快樂的課堂、知識學習與技能培養相融合的課堂、情感態度價值觀教育相融合的課堂、與生活實踐緊密聯系的課堂，進而體驗到成功的喜悅，使學生都能得到發展．

(3)形成思想意識

思維是發展數學核心素養的落腳點，教學的最終歸宿是使學生的思維得到發展，形成更高階的思想意識．在教學中立足數學現實，構建深入體驗、漸進感悟、綜合應用，使學生的思維得到一定的發展．此時思維雖然有提升，但還沒有從本質上上升到思想意識這個高度，所以思維的發展還應有畫龍點睛的升華才能實現跨越．比如環節6，考查學生在復雜情境中發揮直觀想象的能力，實質就是考查圓的軸對稱性，這樣才能體現學生從根本上真正建立了圓軸對稱性的思想意識，使學生的思維進階到新的高度．所以注重教學任務的順利達成，注重教學目標的漸進突破，更要注重學生在整個學習過程中的思維生長，實現思維的進階、完善、優化發展，促進學生核心素養的生長發展．

總之，數學思維進階教學必須全面掌握學生的“數學現實”，從學生的“數學現實”出發，科學把握教學進階設計，以學生的思維發展為教學的歸宿；為學生創設良好的思維環境，立足于形成、改善學生的思維品質，進階發展學生的高階思維品質，伴隨學生核心素養的生長發展．