數學核心素養在深度學習中提升
——以一道高考壓軸題的教學為例

顧日新 (江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 215021)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出：數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力．顯然易見，思維品質和關鍵能力是數學核心素養的基本落腳點．按安德森(布盧姆的學生)修訂的“新版教育目標分類學”[1]的劃分，認知領域的教育目標有“記憶、理解、應用、分析、評價和創造”，前兩個屬于低階思維，后四個屬于高階思維．低階思維僅需要對知識簡單記憶、淺層理解，而高階思維則是在深度理解的基礎上進行遷移應用、分析綜合與評價創造，指向思維品質提升和關鍵能力鍛造．因此，要提升學生的數學核心素養，就要關注學生高階思維層次的訓練和培養．20世紀50年代國外興起的深度學習理論研究表明：深度學習是建立在深層次理解的基礎上，通過學生的深切體驗和深入思考，達成對知識本質和意義的深刻理解，并有效遷移應用．由此看來，數學核心素養的屬性決定了其習得取決于高階思維層次的訓練和培養，高階思維層次的訓練和培養又顯然依賴于深度學習的過程，而核心素養一旦形成又會有力地支持深度學習，兩者是相互促進、相互加強的互動循環關系．

基于上述觀點，筆者以2014年江蘇高考數學卷第20題的教學為例，在學生課前自主預習的基礎上，通過方法優化與完善、變式探究與推理、問題解決與反思等環節促進學生深度思考、互動交流與合作探究，開展深度學習，提升數學核心素養．不足之處，敬請批評指正！

1 真題再現

(2014江蘇高考數學卷第20題)設數列{an}的前n項和為Sn．若對任意正整數n，總存在正整數m，使得Sn=am，則稱{an}是“H數列”．

(1)若數列{an}的前n項和Sn=2n(n∈N*)，證明：{an}是“H數列”；

(2)設{an}是等差數列，其首項a1=1，公差d<0，若{an}是“H數列”，求實數d的值；

(3)證明：對任意的等差數列{an}，總存在兩個“H數列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)成立．

2 分層預習

筆者所在學校為當地一所熱點學校，學生生源層次較高，有能力也有必要去接觸一些高考壓軸題；但考慮到班級學生在學習態度、數學水平、數學能力等方面的差異，為保證課前預習的實際效果，筆者把第(1)、(2)問確定為課前預習必做題，第(3)問確定為課前預習選做題．這種基于學情根據題目難度實施的分層預習保護了學生預習的積極性和有效性，基本杜絕了因難以完成而求助于網絡查題目答案的現象．事實上，筆者在檢查學生預習情況時，未發現和高考題參考答案雷同的解法．

3 教學片段

3.1 展示點評，優化完善

教師展示第(1)問代表性的解法(實物投影)：

綜上，對任意正整數n，總存在正整數m，使得Sn=am，則{an}是“H數列”．

師：已知Sn求an，需要對n的取值分n=1和n≥2討論，這是正確求出通項公式an的關鍵！但注意到an和Sn表達式之間具有一定的相似性，有沒有辦法回避分類討論并簡化解答過程？

生1：求an+1可以回避討論，也能簡化解題過程：因為an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n=Sn，所以對任意正整數n，總存在正整數m=n+1，使得Sn=am，則{an}是“H數列”．

教師展示第(2)問代表性的解法(實物投影)：

師：該解題過程有漏洞嗎？

生2：還要證明d=-1時，m大于零；否則只能說明m是整數，不能說明m是正整數．

師：對！如何證明？

師：堵漏成功！這道題還有沒有其他不同的方法？(學生沉默不語)

師：能不能以n的任意性為突破口？

因為d<0，且m是正整數，故m=1，此時d=-1．后面驗證的過程和上述解法類似.

師：這種解法有邏輯依據嗎？

生3：根據“H數列”的定義，n取任意正整數時，總有正整數m，使得Sn=am恒成立，所以先對n取一個特殊值2，得到m與d的關系式，再根據d<0，m是正整數，逼出m=1，回代得d=-1，則d=-1為{an}是“H數列”成立的必要條件；接下來驗證d=-1是{an}為“H數列”成立的充分條件，最終得到d=-1是{an}為“H數列”的充要條件．

師：很好！對于恒成立問題，先特殊求解、后一般驗證往往有出奇制勝的效果，這也是解決恒成立問題的通法之一！

設計意圖課前批改發現，第(1)、(2)問完成情況相對較好，但第(1)問的解題過程因忽略了an與Sn表達式之間的關系顯得有些冗長；第(2)問的解題過程則普遍存在漏洞，暴露出學生考慮問題的深度不夠，解題思維缺乏嚴謹性．通過課堂上集中展示學生典型的解題方法及解題過程，啟發學生去完善和優化，學生因出現類似的不足和錯誤而產生共鳴并受到啟發，參與熱情高漲．

3.2 變式探究，歸納猜想

師：請大家嘗試對第(2)問條件中的“首項a1=1”或“公差d<0”做一些變化，再去探索實數d的取值．寫出改編題，并直接寫出答案．

展示學生的改編題：

改編1 {an}是等差數列，其首項a1=1，公差d>0，若{an}是“H數列”，求實數d的值．(解答過程略，答案為d=1)

改編2 {an}是等差數列，其首項a1=1，公差為d，若{an}是“H數列”，求實數d的值．(解答過程略，答案為d=±1)

改編3 {an}是等差數列，其首項a1=2，公差d<0，若{an}是“H數列”，求實數d的值．(解答過程略，答案為d=-2)

師：觀察條件和結論，能否對命題進行推廣和拓展？

生4：我發現a1與d同號時，a1與d相等；a1與d異號時，a1與d為相反數．所以猜想——

若等差數列{an}是“H數列”，則a1d<0時，a1+d=0；a1d>0時，a1-d=0．

設計意圖課前批改發現，第(3)問僅少數學生作答，且解答過程也不完整．課前訪談得知，學生對“{an}是任意等差數列”無從下手，對構造成兩個“H數列”更是沒有頭緒．究其原因，主要是學生沒有想到把{bn}，{cn}構造成兩個等差數列；另外，即便想到構造等差數列，但并不知曉等差數列是 “H數列”必須滿足的條件，這是解決第(3)問的難點，也是突破口．因此，筆者設計了一道開放性的問題，讓學生嘗試改編條件，編制新的題目，并探究變式題中公差d的取值，最后通過觀察和聯想，猜想出等差數列為“H數列”必須滿足的條件，為后續解決第(3)問做好鋪墊．這種讓學生主動提出問題、獨立解決問題的研究過程有助于學生學習興趣的激發、內在學習動力的驅動.興趣和內驅力是深度學習的前提，是落實學生主體性的催化劑，發現規律、猜想結論是數學抽象素養和邏輯推理素養的集中體現．

3.3 推理論證，去偽存真

師：有點兒意思！但猜想是一種不完全歸納，它的正確性還要經過嚴格的推理論證去確定，請大家仿照第(2)問解決．

展示學生解法，師生共同完善：

師：之前的猜想有小瑕疵，但是瑕不掩瑜，沒有大膽的合情推理，哪有結論的發現？還有補充的嗎？

生5：等差數列{an}是“H數列”，有沒有可能a1d=0？

師：分類討論，要做到不重不漏！請大家獨立完成a1d=0的特殊情況．

展示學生解答過程：

師：通過前面的推理論證，最終的結論是什么？請分小組討論、總結，取得共識之后由代表發言交流．

設計意圖推理與證明是數學的標志性思維方式，體現了數學思維的特征．通過觀察、猜想、證明三個環節，讓學生體會合情推理與演繹推理之間是相輔相成、相互為用，合情推理是數學發現的主要形式，演繹推理則是證明數學發現真假的重要思維形式，這兩種推理共同勾勒出數學發現活動的過程．而數學發現必然是建立在深度理解基礎之上遷移應用的結果，創造發現是高階思維的表現，這正是深度學習的目的所在，對培養學生的理性思維和科學精神大有益處．

3.4 拾階而上，登高望遠

師：利用我們剛剛發現的結論，大家有沒有信心完成第(3)問？

生眾：有！

師：好！我們就來現學現用，如何構造{bn}，{cn}兩個數列？請大家積極討論，踴躍發言！

生6：{bn}，{cn}均為等差數列，其中{bn}的首項為0，{cn}的首項和公差均為a1．

師：生6說的是生7的特殊情況(t=1)，我們一起來驗證生7的解法．

下證{cn}是“H數列”：

同理可證{bn}是“H數列”．

綜上，命題成立．

師：課后請同學們給出第(3)問的完整解答，很明顯，這道題的答案應該不唯一．

設計意圖借助結論2，原本可以快速完成第(3)問的解題過程，但是筆者并沒有這樣做，而是讓學生就構造{bn}和{cn}展開討論；意想不到的是，生7竟然抽象出了數列{cn}的一般情形，這種能力必須依靠較高的數學抽象素養來支撐，驗證過程中繁雜的字母運算則又對學生數據(字母)處理能力、數學運算素養提出了較高的要求．第(3)問的解答過程則是一般化結論之下的特殊情況，不同的學生可以有不同的構造方法，深刻把握結論的內涵就能統領全局．對學生而言，建立在深度理解基礎上的深度學習啟迪了心智、發展了能力，打開了數學發現的大門．

3.5 反思提升，追本溯源

師：生6與生7都把{bn}，{cn}構造成了等差數列，是巧合還是必然？

生7：因為{an}是任意等差數列，而任意一個等差數列一定可以拆成兩個等差數列，再結合前面歸納的 結論2， 把“H數列”構造成等差數列也比較簡單；當然，也許還有其他構造方法，比如第(1)問中的數列.

師：任意一個等差數列一定可以拆成兩個等差數列？課本上有沒有這樣的結論？

展示蘇教版必修5習題2.2(1)第14題：已知數列{an}和{bn}是兩個無窮等差數列，公差分別為d1和d2，求證：數列{an+bn}是等差數列，并求它的公差．

師：也許命題者的靈感正是來源于此！從這個角度來說，這道壓軸題是源于課本，但又高于課本．最后，請大家回顧整個解題過程，領會其中涉及的解題策略及思想方法，有不同想法可以繼續交流．

生8：等比數列有沒有類似的“H數列”？

師：“H數列”的定義本來就是人為規定的，等比數列中并不一定存在類似的“H數列”，有興趣課后可以進一步去探索；不過，等差數列以“和”與“項”的關系為研究視角，等比數列能否作相應的類比，以“積”與“項”的關系為研究視角？比如：記等比數列{an}的前n項乘積為Πn，若對任意正整數n，總存在正整數m，使得Πn=am，則稱{an}是“H數列”，根據這個定義，大家可以仿照高考題去編題、去做一點小探究．

設計意圖絕大部分高考題都有課本例題或習題的影子，通過追問引導學生回歸課本，重視課本，重視基礎．生8的突發奇想看似偶然，實則必然，等差數列與等比數列是兩個高度關聯的數列模型，確有拓展與聯想的空間；寬松、和諧、積極的課堂氛圍對學生的好奇心和問題意識起到了保護作用．教師的啟發和追問打開了學生的想象空間，激活了學生的記憶表象系統，由此及彼，舉一反三．

4 教后反思

4.1 深度學習離不開適宜的課堂氛圍

深度學習是一種內源性的學習[2]，需要學生主動參與、主動建構、主動發現，這些行為的發生都離不開適宜的課堂學習氛圍．美國心理學家羅杰斯認為，有效的教學必須建立在師生相互理解、相互信任的基礎之上，進而營造一種有序、和諧、靈動的課堂氣氛．適宜的課堂氛圍表現在學生有充分表達的機會，有積極思考的時間，有合作交流的舞臺，有思維碰撞的空間．適宜的課堂氛圍能保障深度學習的進行，深度學習則必然伴隨著有效教學，必然促進著數學核心素養的提升．

4.2 深度學習離不開深度的思維活動

從布魯姆對認知領域教育目標的分類可以看出，智能技術能力(理解、應用、分析、評價和創造五個類別)屬于高階思維過程，需要深層次理解進行支撐，以核心的學習內容為思維媒介完成深度學習．但是，深度學習絕不是高難度學習的代名詞，深度學習是指學生在深度理解的基礎上，采用探究式學習或合作式學習經歷深度思維活動，完成從知識學習走向意義系統的建構，達成遷移應用、綜合分析、自我評價和獨立創造的行為．深度學習的過程無關結果，強調深度思維活動發生與否．所以，一定程度上，學生有沒有進行深度的思維活動可以作為深度學習是否發生的重要依據之一．

4.3 深度學習離不開教師適時、適度的引導

現代課堂觀認為，課堂活動中學生是主體，問題是主線，教師是主導．筆者認為，教師的“導”應該體現在如何引導學生參與教學過程，引導學生提出問題、解決問題，并最大化地獲取知識，形成能力，提升素養．深度學習必然會遇到障礙，這就需要教師在給學生留足思考空間的前提下進行適時、適度的引導，激發學生的思維活力，讓學生經歷分析、應用、評價和創造的過程．《普通高中數學課程標準(實驗)》也明確指出“要讓學生‘經歷……過程，感受……方法’”．因此，教師要具有強烈的學生意識，充分尊重學生的主體性，引導時做到不缺位、不越位，適時、適度給出必要性的提示和引導．圍繞核心內容設計數學探究活動，讓學生進行有效的深度學習，促使學生主動參與知識建構，在自主提出問題、解決問題的過程中發現數學知識，領悟數學方法，增強學習體驗，養成探究習慣．

4.4 深度學習與數學核心素養相互促進

數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析構成了數學六大核心素養，核心素養的提升貫穿在整個學習過程中．深度學習作為淺層學習的延伸和拓展，其重心在于學生對知識的深層次理解及遷移應用，避免了對知識的簡單記憶和機械重復，學生通過獨立思考和積極探究，獲得知識和能力，最終促進數學素養的提升．正如文首所言，數學核心素養的屬性決定了其習得取決于高階思維層次的訓練和培養，高階思維層次的訓練和培養又顯然依賴于深度學習的過程，而核心素養一旦形成又會有力地支持深度學習，兩者是相互促進、相互加強的互動循環關系．所以，只要深度學習得以落實，核心素養的提升必然水到渠成．