數(shù)學解題中“會而不對”的現(xiàn)象分析與對策研究

錢 銘 (江蘇省無錫市第一中學 214031)

朱福進 (江蘇省無錫市輔仁高級中學 214123)

1 問題提出

作為一名數(shù)學教師，我們常常會碰到這樣一種奇怪的現(xiàn)象：許多學生對一些題目感覺會做，也能下筆求解，但就是不能得出正確的答案，在做作業(yè)與考試時自己渾然不知，滿以為是對的，等到與別人交流或老師講評時才恍然大悟，這就是所謂的“會而不對”的現(xiàn)象．有些教師將學生解題時出現(xiàn)的“會而不對”的現(xiàn)象稱之為“低級錯誤”，不少學生則將其歸咎為“粗心大意”或“一時疏忽”，都誤以為只要在解題時細心一些就可以避免．然而，在后續(xù)的作業(yè)和考試中，這種“會而不對”的現(xiàn)象仍然頻頻出現(xiàn)，成為阻礙學生進步的一個難以治愈的“頑疾”，不僅極大地影響了學生的學習成績，也嚴重地挫傷了學生學習的積極性，制約了數(shù)學教學質(zhì)量的提高和學生的長效發(fā)展，既困惑著學生，也困惑著老師．[1]那么，在數(shù)學學習中，學生解題“會而不對”的主要現(xiàn)象有哪些？產(chǎn)生這種現(xiàn)象的深層原因究竟是什么？在我們的數(shù)學教學中怎樣才能有效地予以解決？下面結(jié)合筆者的教學實踐作一些探索和研究，與同行交流，供大家參考．

2 現(xiàn)象分析

學生在數(shù)學解題中出現(xiàn)的“會而不對”的現(xiàn)象形式是多種多樣的，其中的“會”是指有了解題思路，基本擬定了解題計劃，“不對”是指解題的過程中出現(xiàn)了問題，或不能正確運用概念、定理、公式和性質(zhì)，或不能合理地進行轉(zhuǎn)化，或運算不過關造成差錯，或書寫過程丟三拉四、漏洞百出等等．結(jié)合“會而不對”的表現(xiàn)形式和產(chǎn)生的原因分析，常見的情形有以下幾種.

2.1 概念模糊、似懂非懂導致會而不對

從知識層面看，不少學生因課堂上沒有專心聽講或基礎知識薄弱、悟性不夠，或由于教學進度太快，留給學生思考、消化、理解的時間過少，導致他們對基本概念和基礎知識表面上像是懂了，甚至還可以復述出來，但對其本質(zhì)、內(nèi)涵與外延并未真正地理解，其實不是真懂，而是似懂非懂，解題時只能機械地模仿，無法靈活和準確地加以運用，面對具體問題看起來會，做起來錯，造成遺憾．

案例1已知點F1(-4, 0)和F2(4,0)，平面上的一動點P滿足PF1-PF2=6，試求動點P的軌跡方程．

學生所犯的錯誤，根本原因在于對雙曲線定義的理解似懂非懂，只是形式上、斷章取義地記住了雙曲線的定義，是淺層次的懂，沒有能全面地把握雙曲線定義的本質(zhì)，對其內(nèi)涵和外延缺乏足夠的認識和了解，這樣解題，會而不對就難以避免了．

2.2 審題偏差、遺漏條件導致會而不對

審好題是解好題的前提和關鍵，只有審好題才能解好題，稍有疏忽，便會“差之毫厘，謬以千里”．不少學生解題時急于求成，盲目自信，對審題重視不夠，拿到題目匆匆忙忙地瀏覽一遍就倉促動筆，以致于題目的條件沒有看清，要求沒有吃透，甚至對已知條件有那些、解題目標是什么都沒有弄明白，至于如何從題目中挖掘隱含條件、尋找內(nèi)在聯(lián)系、啟發(fā)解題思路就更無從談起，不可避免地要產(chǎn)生偏差，導致“會而不對”．

案例2抽樣統(tǒng)計甲、乙兩位射擊運動員的五次訓練成績(單位：環(huán))，結(jié)果如下：

運動員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892

則成績較為穩(wěn)定(方差較小)那位運動員的成績的方差為．

這是2013年江蘇高考第5題，是一道容易題，學過這一內(nèi)容的學生應該都會做．在教學抽樣統(tǒng)計時，筆者將這道試題給學生練習，許多人的解答如下：

易知甲、乙兩人的均值都是90．

所以乙的方差較小，成績較穩(wěn)定的那位運動員是乙，故答案為乙．

2.3 分類不全、顧此失彼導致會而不對

主要表現(xiàn)在運用分類討論的思想方法解決問題時，所運用的知識和大體思路是正確的，運算和書寫也不存在問題，但思維過程不嚴謹，對問題的思考不深入，對各種情況的分類不全面，忽略了對一些特殊情況或某些具體細節(jié)的討論，忘記了數(shù)學概念、公式、法則和定理在具體運用時的限制條件，導致邏輯上的欠缺，致使“會而不對”，產(chǎn)生以偏概全、丟三拉四、顧此失彼的錯誤．

案例3過點A(2,3)作直線l，使得點B(-1,6)和點C(4,5)到直線l的距離相等，試求出直線l的方程．

許多學生的解法如下：

2.4 盲目變形、忽視等價導致會而不對

著名的數(shù)學家、莫斯科大學教授C．A．雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題．”數(shù)學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的不斷進行化歸轉(zhuǎn)換過程，許多情況下，也是一個尋找充要條件的過程．若轉(zhuǎn)化恰當，問題往往能迅速獲解，若盲目變形，忽略轉(zhuǎn)化過程中的等價性，則自然會導致做錯題的現(xiàn)象發(fā)生．

案例4已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且an=n2+bn+2(n∈N*)，求實數(shù)b的取值范圍．

我們常會見到如下的錯誤解法：

一般地，“y=f(n)(n∈N*)為增函數(shù)”是“函數(shù)y=f(x)(x∈R*)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)”的必要不充分條件．本案例中所用的基礎知識(數(shù)列、遞增數(shù)列、二次函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性等概念)學生都“懂”，求解的思路也很難清楚，但因“數(shù)列遞增”轉(zhuǎn)化為“連續(xù)函數(shù)遞增”時，進行了不等價轉(zhuǎn)化，故而致錯．

2.5 書寫馬虎、計算出錯導致會而不對

數(shù)學習題的解決在絕大多數(shù)的情況下都是離不開運算的，在解題的過程中，即使思路和方法都正確，但書寫馬虎，運算不過關，不注意計算細節(jié)的處理，例如算理混淆、算法不優(yōu)、過程繁瑣、謄寫失誤，由上一步到下一步，把加號寫成減號、把3寫成5、把加減看成乘除、括號前是負號的情況下去括號時括號里的有些項不變號等，也會形成計算上的錯誤，導致會而不對．

這是一道高三理科數(shù)學模擬試題，難度不大，但做錯的學生不少，一種比較典型的錯誤解法如下：

3 對策研究

課堂教學是一個師生的雙邊活動過程，教師是外因，是變化的條件，學生是內(nèi)因，是變化的根據(jù)．導致學生在解題中出現(xiàn)會而不對的現(xiàn)象，其原因是多方面的，有學生學的因素，也有教師教學中教的問題．在我們的教學中，作為教師，需要從哪里入手，在何處著力，才能有效地幫助學生克服和解決會而不對的問題呢？

3.1 突出概念教學，建構(gòu)深度理解，解決“似懂非懂”的問題

“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也．”概念是反映事物特性或本質(zhì)的一種思維形式，是構(gòu)成數(shù)學知識、進行判斷和推理的基礎，數(shù)學的建構(gòu)完全依賴于一個個明確的概念，沒有數(shù)學概念就沒有系統(tǒng)的數(shù)學思維，正確地理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學知識的前提．數(shù)學概念是培養(yǎng)數(shù)學技能的沃土，對數(shù)學概念的深刻理解可以促進學生以此為生長點探索數(shù)學技能，而數(shù)學技能的操作又可以反過來加深對數(shù)學概念的認識，為更高層次的生長提供可能．因此，強化學生數(shù)學技能的一個重要對策，就是加強學生對數(shù)學基礎知識的認識和理解，指導學生多動手實踐，多練習基本技能，學會從不同角度思考問題，學會運用多種方法解決問題，在一題多解和變式訓練中深化認識，建構(gòu)理解．章建躍博士曾經(jīng)說過：“要讓學生養(yǎng)成‘回到概念去’思考和解決問題的習慣．”抓住了概念也就從本質(zhì)上抓住了解決問題的關鍵，對數(shù)學概念理解越深刻，解題就越簡潔越流暢．[2]因此，在進行概念教學時，教師要不惜時、不惜力，讓學生充分經(jīng)歷概念發(fā)生和發(fā)展的過程，深刻揭示概念的本質(zhì)，深入挖掘概念的內(nèi)涵和外延，幫助學生建構(gòu)起自己對概念的正確認識和深層理解，從而提高學生分析問題和解決問題的能力，提升學生的核心素養(yǎng)，促進學生有效地破解數(shù)學解題中由于似懂非懂而造成的會而不對的問題．

3.2 加強學法指導，養(yǎng)成良好習慣，解決“審題偏差”的問題

有一句名言:“學習數(shù)學意味著什么？那就是解題．”但筆者以為，學生學習數(shù)學的主要任務并不只是解題，更重要的是學解題，教師教的重點和學生學習的重點不在于解而在于學解，數(shù)學教學要注意加強學法指導，讓學生學會學習、學會解題，幫助學生養(yǎng)成良好的習慣．美國著名的數(shù)學家G· 玻利亞在《怎樣解題》一書中總結(jié)出科學的解題步驟：明確題意、制定計劃、執(zhí)行計劃、總結(jié)解題過程．[3]在解題中，任何一個環(huán)節(jié)的錯誤都可能導致會而不對現(xiàn)象的發(fā)生．認真細致地審清題意、真正意義上吃透題意是解好題的第一步，若審題出錯，則滿盤皆輸．怎樣審準題，確保自己對題目的理解與題目本身的含義完全一致，這是教學中必須加強訓練、著力解決的問題.教師在平時的教學中要注意幫助學生養(yǎng)成“用心、耐心、細心”的周密思考的好習慣．例如可以教會學生，在讀題時要把關鍵的部分畫出來，從心理學的角度來分析這個過程，圈出關鍵詞的過程同時具有動作和視覺的輸入，兩種信息的同時輸入，可以加深對題目中重要信息的短時間記憶．對于有些學生在解題的過程中書寫潦草、缺乏依據(jù)、遺漏條件等問題，要引導學生注意換行、對齊書寫、回代檢驗．學生如果能夠養(yǎng)成良好的學習習慣，就可以有效地避免數(shù)學解題中由于審題偏差而導致的會而不對的問題．

3.3 注重解題回顧，提升反思能力，解決“顧此失彼”的問題

G·玻利亞認為：數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題后的回顧．羅增儒教授也曾經(jīng)說過：“檢驗解題過程也是提升解題能力、積累解題經(jīng)驗、鍛煉數(shù)學思維的一個重要途徑．”[4]學生的錯誤和思維的優(yōu)化是一個自我否定的過程，即以自我反思為前提．所謂“反思”，就是引導學生解題后再思考，對解難題過程中思維的受阻點及出現(xiàn)的原因進行分析．題目做過以后，應習慣性地回過頭來望一望、想一想，題目的條件是否用全？方法是否正確？計算有沒有出錯？是否做到了每步都有理有據(jù)？還有其他解法嗎？各種解法之間有什么區(qū)別？哪種解法最優(yōu)？等等．通過回顧，整理出整個問題的經(jīng)歷過程，做到層次分明，以達到畫龍點晴的目的．學生在檢查中往往會受思維定勢的影響，難以發(fā)現(xiàn)自已解題中的問題，這時教師應注意加強指導，例如指導學生換一種方法試一試，借助另一種思路來驗證自己的答案是否正確，也可以應用逆向運算法來驗證答案，來查出遺漏的部分，避免錯誤的發(fā)生．在平時的教學中，教師要善于引導學生反思探究，探尋知識與方法之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論之間的差異，提升對問題本質(zhì)的認識，讓學生在不斷的聯(lián)系和整合中，豐富和完善認知結(jié)構(gòu)，站在系統(tǒng)的高度理解數(shù)學，構(gòu)建更廣泛、更有效的解題經(jīng)驗，破解數(shù)學解題中因分類不全、顧此失彼等原因造成的會而不對的問題．

3.4 滲透化歸思想，優(yōu)化思維品質(zhì)，解決“忽視等價”的問題

數(shù)學問題的解決過程，實質(zhì)上是一種思維活動的化歸和轉(zhuǎn)化過程．所謂化歸和轉(zhuǎn)化，就是在分析解決問題時，把那些待解決或難解決的問題，通過有意識的“聯(lián)想—轉(zhuǎn)化”，由未知向已知化歸，把不熟悉的、不規(guī)范的、復雜的問題化歸為熟悉的、規(guī)范的甚至模式化的、簡單的問題，從而求得原問題的解．化歸與轉(zhuǎn)化是分析問題和解決問題的重要思維模式，是數(shù)學解題的必經(jīng)之路．化歸和轉(zhuǎn)化包括等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化兩種．等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是互相逆推的，是充分必要的，它能保證轉(zhuǎn)化后得到的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果；非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，所得到的結(jié)果不一定是原問題的結(jié)果，要對結(jié)論進行必要的檢驗和修正．許多學生在解題的化歸轉(zhuǎn)化過程中，不能區(qū)分等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化，常常將不等價的轉(zhuǎn)化過程誤以為是等價轉(zhuǎn)化的過程，而產(chǎn)生解題錯誤．因此，在教學的過程中，一定要高度重視化歸轉(zhuǎn)化思想的滲透，幫助學生明確化歸轉(zhuǎn)化的等價性與非等價性的不同要求，在實施化歸轉(zhuǎn)化時確保其等價性，保證邏輯上的正確，如果出現(xiàn)不等價轉(zhuǎn)化，一定要附加約束條件，或注意回過頭來進行解題檢驗．要注意讓學生學會從多角度考慮問題，形成科學的思維習慣，掌握正確的思維方法，使學生的思維品質(zhì)得到優(yōu)化，思維能力得到提升，從而有效地破解由于忽視等價而形成的會而不對的問題．

3.5 強化運算訓練，培養(yǎng)運算能力，解決“計算出錯”的問題

運算能力是一種集算理、算法、計算、推理、轉(zhuǎn)化等多種思想、方法于一體的綜合性能力，解決數(shù)學問題，不僅要能正確地運用數(shù)學的知識、思想和方法，也離不開計算方面的技能和技巧．準確是運算的基本要求，運算的準確性來自對知識的正確理解和掌握，只有切實掌握有關知識，才能使運算明確方向，為運算提供可靠的依據(jù)．運算不準確在很大程度上是由于對基本概念理解不深，對基本公式、法則掌握不夠透徹，以及對它們的運用不夠熟練．這就要求我們在教學時把概念、定義、定理、公式等講清楚，高度關注學生在運算中反映出來的知識上的缺漏，不要把解題錯誤的原因，簡單地歸結(jié)于粗心大意．運算能力還表現(xiàn)在對算理的理解和運用上，以及根據(jù)問題的條件尋找并設計合理、有效的運算途徑，通過運算進行推理和探求．其中算法和算理是基礎，基礎不扎實，能力培養(yǎng)只能是空中樓閣．因此，必須指導學生在弄懂、弄通必要的算法和算理上下工夫．要著眼于細節(jié)的處理，引領學生通過反思抓住問題的本質(zhì)求解，逐步使運算簡潔合理．實踐表明，提高運算能力是一項復雜的系統(tǒng)工程，是一項長期的任務，不可能一蹴而就．我們要珍惜每一次訓練機會，有計劃、有目標、有意識地進行長期的滲透和強化，使學生養(yǎng)成正確、合理、快速地進行運算的習慣，從而有效地破解由于計算出錯導致的會而不對的問題．

總之，作為一名數(shù)學教師，要深入研究學生解題時出現(xiàn)會而不對現(xiàn)象的原因以及應對之策，改進教學，牢記細節(jié)決定成敗，規(guī)范自己和學生的解題行為．在實施解題教學的過程中，要以提高數(shù)學素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核心，重視概念教學和運算能力的培養(yǎng)，堅持以學生為主體，多角度、多途徑地示范解題分析，充分地展示和暴露解題的思維與探究過程，挖掘背景知識，揭示問題本質(zhì)，滲透數(shù)學思想方法，注重解后反思，及時歸納總結(jié)知識和方法，并不斷地將其納入已有的認知系統(tǒng)，使學生在掌握知識的過程中學會思考，幫助學生養(yǎng)成良好的解題習慣，積累更多的解題經(jīng)驗，加強學生對數(shù)學的理解，提高學生的數(shù)學能力，提升學生的核心素養(yǎng)，真正解決學生在數(shù)學解題中出現(xiàn)的各種會而不對的問題．