HPM視角下三角學序言課教學實踐探索

何曉蕾 (浙江省義烏市第五中學 322000)

序言課在高中數學教學中占據著重要地位，在了解知識背景、理解知識脈絡、指導學習方法等方面起著重要作用．但如果序言課僅僅是淺層內容的堆砌，就會變成一節普通的概念課，如果為了吸引學生的關注而變成一節“故事課”，則達不到序言課的教學價值最大化．喚醒學生的已有認知，揭示知識學習的必要性，解決學生的“頑固性疑惑”，實現數學史的多元教育價值是序言課的使命．鑒于此，筆者從HPM視角就“三角學序言課”進行了教學實踐探索．

1 相關歷史材料及其運用

高中三角學包含三角函數、三角恒等變換和解三角形，學生在學習這部分內容時會產生一些頑固性疑惑，比如：初中已有了角的概念，為何要重新定義任意角？角度制已經如此深入人心，為何非要引入弧度制？這些核心概念在教材中并沒有解釋清楚，而教師因為課時緊張等原因也沒有在課堂上解決學生的困惑，序言課就擔負了這個使命．同時，三角學的歷史發展也為解決上述教學問題提供了重要參考．

三角學萌芽于天文學，是測量計算的工具．最早，為了計算地球與太陽旋轉中心的距離，希臘數學家西帕霍斯引入了弦表——在半徑固定的圓中，求給定弧長所對的弦長[1]．他默認當圓的半徑不變時弧長和角度有一一對應的關系，因此在計算時，圓的弧長和半徑采用和角相同的六十進制度量方法，這便是弧度制的雛形．歷史告訴我們，三角學的萌芽階段無聲地孕育著函數的思想和弧度制的思想．之后，數學家們在對圓的研究中引入了余弦、正切、正弦的概念，也推導了許多三角學公式[2]．只是，弦表的研究重點仍是給定半徑時弧與弦的對應關系，函數思想也仍停留在表格形式．直到14世紀，數學家雷提庫斯發現給定半徑時角的大小和弧長是一一對應的，于是脫離了圓這個工具用直角三角形的邊長比來定義正弦、余弦等概念，從此角成了正弦函數的自變量．17世紀，數學家們引入了“函數”概念，三角學的重點從強調計算轉變為強調函數方法，三角學從研究三角形的邊角關系轉換為研究現實世界中具有周期性的運動變化．只是此時度量長度的單位已是十進制，而角度是六十進制，進位制的不統一使得弦表難以體現其便捷性，新的度量單位即弧度制應運而生，半個周期的正弦曲線也面世了．事實上，弧度制產生的直接原因是為了解決進位制不統一問題，更深層的是當時的時代背景.三角學脫離了三角形，數學家們用解析思想研究三角函數，是研究函數圖象及性質的需要，這也和19世紀芝加哥三角教科書中對弧度制的教學安排不謀而合[3]．

鑒于此，在三角函數的教學中，筆者從現實生活入手，為了刻畫生活中周而復始的運動變化而引入任意角；從函數思想入手，為了畫出正弦函數的圖象而不得不考慮變更度量單位，引導學生引入弧度制．

2 課堂教學實錄

2.1 發現正弦定理

師：(展示古希臘數學家埃拉托色尼測量地球周長的故事)同學們有沒有想過自己去測量月亮到地球的距離？

圖1

師：圖1為某興趣小組測量超級月亮的示意圖，O為地球球心，兩人分別站在A,B兩點同時觀測月亮C，測量計算出AB兩地的直線距離，以及∠CAB和∠CBA，求超級月亮C與A,B兩地的距離．

師：很棒，這個公式我們稱為正弦定理．公元2世紀，古希臘天文學家托勒密在圓中發現了正弦定理，18世紀英國數學家哈里斯就是采用構造直角三角形法證明了正弦定理．那么鈍角三角形滿足這個定理嗎？三角形中還存在其他數量關系嗎？我們將在必修5第1章中學習，可以更全面地得到三角形中的邊角關系，可謂有“棱”有“角”．

2.2 感受弧度制

圖2

師：17世紀以前的主流三角學被稱為幾何三角學，通過幾何運算研究靜態的三角形邊角關系．17世紀以后，數學家歐拉轉移了大家的視線，用函數視角研究生活中一些具有周而復始變化規律的勻速圓周運動，比如力學中的彈簧、鐘擺、大提琴等．大家覺得哪一個量可以刻畫這種周而復始的運動變化(圖2)？

生：如果以指針停留的位置為基準，角的大小變化可以用來刻畫周而復始的狀態．

師：這個角和大家初中學的角一樣嗎？

生：不太一樣，這個角是動態角，旋轉形成．初中的角是靜態的平面圖形，而且旋轉角的范圍可以超過360°，和初中角的范圍也不一樣．

師：旋轉角有方向的區分．我們規定逆時針旋轉為正角，順時針旋轉為負角，不做任何旋轉為零角．

師：有了角的定義，數學家們開始研究角的函數．回憶我們當初研究基本初等函數模型的一般步驟，大家說說如何研究三角函數？

生：研究函數需要研究定義域、值域、圖象、奇偶性、單調性，也可以作出圖象研究函數的性質．

圖3

師：畫圖解決的是橫、縱坐標的關系，請大家用幾何圖形畫出sin 60°, sin 45°．(學生作圖，教師巡視，并挑選出有代表性的圖象予以展示，如圖3)

師：綜合這些圖象，哪一類形式的三角形更適合統一？

生：斜邊長為1時更好統一，根據正弦函數的定義，任意角度對應的直角邊AC即為這個角的正弦值．

師：取遍所有銳角，這些密集的點C最終形成了什么？

生：應該是半徑為1的圓的四分之一圓弧長．

師：總結得很好．我們將半徑為1個單位長度的圓叫作單位圓．當我們取任意銳角時，這個角的正弦值就是y值，也就是單位圓上點的縱坐標．如此我們解決了函數圖象的縱坐標問題，現在大家可以畫出y=sinx的圖象了嗎？

生：在x軸上取出1°的單位長度，把對應的正弦值標在坐標系中，所有點連成的曲線就是正弦圖象了．

生：不對，1°的單位長度不同，所畫出的圖象也是不一樣的．這樣正弦曲線不是有無數個了？(學生們紛紛點頭表示同意)

師：這位同學的疑惑很有道理，歸根結底還是坐標軸上自變量和因變量的單位長度不一致，和數學家們當初想的一樣．那么改變角的度量單位刻不容緩！我們剛剛用幾何圖形表示了正弦值，能否用幾何圖形來表示角的大小呢？(教師略頓，看學生一時沒有思路，稍稍提醒)在指針的旋轉過程中，隨著角的大小變化，哪些量發生了變化？

生：弧長、弦長、面積．這三個里面弧長更直觀一些，可以考慮用弧長表示角的大?。?/p>

師：大家認為角越大弧長也越大嗎？

生：應該說在半徑固定的圓中角越大弧長越大．可以設半徑長度為1，就是單位圓．這樣就可以用角所對的弧長來表示角的大小了．

師：厲害！當時的數學家們也發現了給定半徑時角的大小和弧長是一一對應的．這樣正弦函數y=sinx的自變量可以用什么表示了呢？

生：角x在單位圓中所對的弧長．

師：自變量和因變量都可以在坐標系中表示了，現在大家可以利用這個轉動的圓盤畫出正弦函數圖象了嗎？

圖4

兩位學生上臺合作(圖4)，用可彎曲的磁條標出15°所對角的弧長為橫坐標，再量出角所對的垂直距離為縱坐標，描出各點連成曲線就是y= sinx在0°～90°內的圖象(圖5)．

圖5

師：用長度度量角的大小的方法叫作弧度制，是除了角度制之外又一個度量角的方法．大家可以根據以上過程表示出角度和弧度之間的等量關系嗎？

師：恭喜大家揭開了角度制與弧度制的奧妙！引入弧度制完美地解決了用角度畫正弦圖象存在的問題．用動態的視角、函數的工具來研究高中三角函數，可謂是別有“動”天．

2.3 探究兩角差的余弦公式

師：三角函數研究的是“一個角”的函數，那么兩個角的三角函數表達式應該是怎樣的呢？例如，cos(x-y)=cosx-cosy嗎？小組合作探究結果．(教師巡視，察看學生的討論思路和結果)

生：這個式子不對，當x=y時，等式左邊為1，等式右邊為0．

生：通過代入特殊角發現cosx, cosy的差、和、積、商、冪都不能表示cos(x-y)．

生：取x=60°,y=30°，可以發現cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny．

師：大家的討論和思考都很有道理．數學是一門嚴謹的學科，不僅要大膽猜想，還要小心論證．

3 學生反饋與教學反思

本節課的授課對象是義烏市某普通高中的高一學生．課后，筆者采用問卷和訪談兩種方式，就學習情感、內容理解、思想方法等方面對學生進行調查．

(1)學習情“”感上，82.6%的學生表示很喜歡這節課的內容，認為在上新課之前上這樣的序言課是非常有必要的，融入數學史增添了趣味性和人文性，理解了三角學與現實生活中的重要作用，了解到知識產生的過程中數學家們的思考，特別是當自己的思考和數學家們不謀而合時有特別大的成就感．

(2)內容理解上設置的問題是：高中三角學包含了哪些內容？哪些內容和你以往的理解不一樣？為什么高中教材先學三角函數？部分學生能說出高中三角學包含解三角形、三角函數和三角恒等變換三部分內容；和初中的知識相比較，初中角和高中角的定義不同，高中角是動態的、旋轉形成的，有方向的區別，角度制和弧度制是兩種不同的度量單位，想要畫出正弦函數圖象就必須解決進位制不統一的問題；先學三角函數應該是為了統一高中對角的定義，這樣三塊內容才能成為一個整體．

(3)思想方法上設置的問題是：這節課用了哪些思想方法？學生的回答有：三角學中測量地球周長用了相似三角形法；測量月地距離是將問題情境進行數學抽象，構造直角三角形法得到正弦定理；運用建模的方法研究角的函數；數形結合畫出半個周期內的圖象；兩角差的余弦展開公式既要合理猜想也要嚴謹論證．

教材中的知識一般以邏輯順序呈現，但不一定符合學生的心理順序．學生在初中已學習解直角三角形，在此基礎上融入數學史學習解一般三角形，可以幫助學生理解知識產生的必要性，構建知識之諧．通過歷史上不同時期數學家們的研究重點，讓學生掌握分析三角形邊角關系、函數模型研究三角函數的方法，展示方法之美．基于畫出函數圖象的需要，讓學生自主探究解決橫、縱坐標問題并探索兩角差的余弦公式，引發學生的興趣和好勝心，在試錯中養成一般性思考問題的習慣，營造探究之樂．學生在探究過程中跨越時空與數學家“對話”，感受三角學與天文學的淵源，體現數學的多元文化價值，揭示文化之魅[4]．通過引導學生解決歷史問題，提升了數學抽象、直觀想象、數學建模、邏輯推理等核心素養，實現能力之助．通過走古訪今，呈現了數學家們在歷史發展過程中的智慧以及認知局限性，幫助學生樹立科學可持續的數學觀，達成德育之效．