美英早期代數教科書中的方程定義

楊孝曼 汪曉勤 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

方程是代數學的基石，是用數學符號刻畫現實世界的重要工具．在古代，雖然還沒有形成方程的概念，但由于實踐需要，人們已經會用方程解決實際問題了．“方程”這個名詞最早見于漢代數學典籍《九章算術》，指的是多元線性方程組．劉徽注稱：“程，課程也．群物總雜，各列有數，總言其實．令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程．”[1]“如物數程之”的意思是需要求幾個未知數就要列幾個方程．晚晴數學家李善蘭和英國傳教士偉烈亞力在翻譯德摩根的《代數學》時，首次將equation譯為“方程”．至此，方程這一中國古代數學術語被注入了新的內涵而沿用至今．

人教版和蘇教版五年級數學教科書均將“方程”定義為“含有未知數的等式”，并在例題和課后習題中設有方程的判斷題．該定義體現了教材重形式輕本質的特點．據了解，在實際教學過程中，一些教師甚至會用“含有字母的等式”來代替方程的定義，這種過度解讀非常不利于學生對方程本質的理解．同時，“含有未知數的等式”這個定義也帶來了很多引起爭議的問題，例如很多教師和學生都存在這樣的疑問：x=1是方程嗎？x+1=x+2是方程嗎？在英語里用equation表示方程，而equation原來就是等式的意思，那么前人在翻譯這個單詞時，為什么不直接用等式？方程與等式的聯系與區別到底在哪里？

若要回答以上問題，就必須真正理解方程的本質．著名數學史家M·克萊因(M.Kline,1908—1992)曾說：“課本上斟字酌句的敘述，未能表現出創造過程中的斗爭、挫折，以及建立一個可觀結構之前，數學家經歷的艱苦漫長的道路．”[2]數學史是展示人類認識數學這一連續過程的最好媒介，它不僅追溯了數學內容、思想和方法的演變及發展過程，并且探索影響這種過程的各種因素[3]．不同時期數學教科書中的方程定義及其演變，展示了人類對方程概念的認識過程，為今日教科書的編寫和方程的課堂教學帶來很多啟示．因此，本文考察1820—1959年之間出版的120種美國和英國代數教科書中有關方程定義的內容，試圖回答以下問題：美英早期代數教科書中是如何定義方程的？方程的定義是如何演變的？方程定義的歷史對我們今天認識方程有何啟示？對于今日方程的教學又有何啟示？

2 研究方法

本文從有關數據庫中選取120種美英早期代數教科書為研究對象．若以20年為一個時間段，則這些教科書的時間分布情況如圖1所示．其中，對于同一作者再版的教科書，若內容無顯著變化，則選擇最早的版本，若內容有顯著變化，則將其視為不同的教科書．

圖1 120種教科書的時間分布

首先，按照年份查找并摘錄出各教科書中的方程定義以及相關內容；接著，相關知識和文獻[4]，以關鍵詞為參照，確定分類框架，根據文獻[4]中所提，目前對數學概念的定義方式并沒有形成共識，常見的提法有：屬加種差定義法、發生定義法、形式定義法等．基于對方程定義表述方式的不同，本文首先建立初步的分類框架，運用該框架對早期教科書中的方程定義進行統計，再根據統計情況對分類框架進行適當修正，最終形成正式的分類框架(表1)；最后，根據分類框架，對120種教科書中的方程定義進行分類與統計．

表1 方程定義的分類框架

3 早期代數教科書中的方程定義

方程作為一個數學概念，它是一種數學邏輯構造，是抽象邏輯的產物．本節根據分類框架對研究對象進行分類，屬加種差定義、描述性定義和函數定義占比依次為8.27%, 90.08%和1.65%，其中描述性定義占比最大．

3.1 屬加種差定義

屬加種差定義法可以簡單地表述為：被定義項 = 種差 + 鄰近的屬．在120種教科書中共有10種采用了此類定義方法，主要集中在19世紀末到20世紀初．表2給出了屬加種差定義的典型例子．

表2 屬加種差定義的典型例子

3.2 描述性定義

描述性定義重在對方程形式的描述，共有108種教科書采用此類定義，占據壓倒性多數．根據定義敘述的中心詞，描述性定義又分為表達式、命題式、陳述法、比較法、典例法和組成法定義6種．圖2給出了6種方法的分布情況．

圖2 各類描述性定義的分布情況

·表達式定義

將方程定義為等號連接的一種表達式的方法稱為表達式定義，共有57種教科書采用此類定義方法．表3給出了表達式定義的典型例子．

表3 表達式定義的典型例子

·命題式定義

中心詞是命題的定義方式稱為命題式定義．這種定義將方程看作一種命題．僅有3種教科書采用命題式定義的方法．表4給出了命題式定義的典型例子．

表4 命題式定義的典型例子

·陳述法定義

將方程定義為一種闡述、描述或陳述等的定義方式稱為陳述法定義．共有43種教科書采用這種定義方式，在描述性定義方式中占比僅次于表達式定義．表5給出了陳述法定義的典型例子．

表5 陳述法定義的典型例子

·比較法定義

將方程看作是兩個量之間比較的定義方式稱為比較法定義．Williams將方程定義為“當兩個相等的量用符號‘=’連接時，這種比較稱為方程”[16]．雖然僅有1種教科書采用此種定義，但是該定義值得關注，因為它將等號兩邊看作是地位平等的兩個量，這有助于打破學生認為“=”僅代表運算結果的固有思維，從而更好地理解方程兩邊的等量關系．

·典例法定義

由典型的例子出發給出的定義稱為典例法定義．共有3種教科書采用這種定義方式．如Hind將方程定義為“像ax+b=cx+d這樣，符號‘=’兩邊的量彼此相等，整體稱為等式或方程．”[17]Lilley將方程定義為“形如3x+5=5x-7的等式叫做方程．”[18]這種方式的特點就是從形式上說清楚“什么是”，但是忽略方程這一概念的本質．

·組成法定義

從方程的組成進行定義的方式稱為組成法定義．在120種教科書中，僅有Ficklin采用這種定義方式，具體表述為“一個方程由兩個用等號連接的表達式組成．”[19]

圖3 6種定義方式時間分布

圖3給出了上述6類描述性定義的時間分布情況．從圖3可以看出，19世紀80年代之前表達式定義占有絕對優勢，19世紀末占比開始減少．反之，陳述法定義的占比逐漸增加，到20世紀發展成為主流定義方式．而命題式、比較法、典例法和組成法定義都是在少數幾個時間段曇花一現．

3.3 函數定義

從函數的角度來定義方程的方式稱為函數定義．有2種教科書采用這種定義方式：Urner將方程定義為“要求x的一個值，使函數f(x)和g(x)具有相同的值，則f(x)=g(x)稱為方程”[20]，Whyburn將方程的定義敘述為“如果將含有一個或多個未知數的兩個函數設為相等，并且對某些數而不是對所有值都成立，在這種情況下，它被稱為條件方程．”[21]這種定義方式雖然在形式上將方程等號兩邊看作兩個函數，但是這里的x不是函數中的變量，而表示未知數．20世紀初，德國數學家F·克萊因(F.Klein,1849—1925)提出以函數概念統一數學教育內容的思想[22]，因此，函數定義法的出現受到了此種思想的極大影響．

4 方程與等式

在英語中equation這個單詞本身就是等式的意思，數學里公式、函數、純數字算式等都是等式的形式．120種教科書在定義方程時，有的將方程與等式進行了區分，有的則不加區分．具體主要分為以下三類．

第一類：未區分方程和等式．19世紀早期的教科書傾向于不區分方程和等式，部分教科書里明確表示純數字的等式也是方程．表6給出了第一類定義的典型例子．

第二類：沒有明確區分等式和方程，但明確說明方程含有未知數．第二類定義雖然沒有明確區分方程和等式，但是提到“方程通常含有未知數”．這類定義在19世紀初占比最大，之后逐漸減少．表7給出了第二類定義的典型例子．

表6 第一類定義的典型例子

表7 第二類定義的典型例子

第三類：區分恒等式和方程．第三類定義突出方程包含未知數的特點，將方程作為等式的一種情形獨立出來，強調只有某些特定值代入方程所含未知數后等式才成立，而通過已知部分和等量關系確定這些特定值進而求出未知數的過程就叫做解方程．表8給出了第三類定義的典型例子．

表8 第三類定義的典型例子

10個屬加種差定義中，3個屬于第一類，1個屬于第二類，6個屬于第三類．2個函數定義分別屬于第二類和第三類．108個描述性定義中，39個屬于第一類，20個屬于第二類，49個屬于第三類．若以20年為一個時間段，則上述三種方式的分布情況見圖4．

圖4 120種教科書關于方程分類的時間分布

從圖中可見，在19世紀初，第一類和第二類的占比較大，第三類占比最少．隨后第一類在1840—1859年短暫增加后，開始逐漸減少；第二類的占比大體上也呈遞減趨勢，到20世紀中葉第一、第二類的占比都為零；第三類的占比逐漸增加，到20世紀中葉僅剩下這一種分類方式．早期的教科書并沒有將方程和等式進行區分；隨著時間的推移，教科書在定義方程時越來越傾向于強調“方程通常含有未知數”．進入20世紀，將方程與恒等式區分開的方式逐漸成為主流．

5 方程的意義

Bartoo & Osborne在“方程”章的開篇記載了這樣一個故事，一個人在工作崗位上遇到了難題，在百思不得其解后，領導告訴他其實這就是他在學校里學習的代數[32]．由此可見，方程不只是書本上的一個公式，更是解決實際生活問題的數學工具．

方程的本質體現在它將一個問題的已知部分和未知部分通過等號連接起來，并由此求出對我們有價值的未知數，進而解決實際問題．波利亞(G. Pólya,1887—1985)也曾說過：“方程的核心思想是借助一組等式關系求解未知數．”[33]

在所考察的120種教科書中，49種在給出方程的定義時，明確提到方程在求實際問題和數學研究方面的意義．例如Mudie將問題的已知部分和未知部分比作一條河的兩岸，而得到它們之間的等量關系即建立方程，就是建造連通兩岸的橋梁[26]．Feinstein和Murphy則言簡意賅地指出：方程本質上是一個問題，而不是一個陳述[34]．

張奠宙先生也多次對教科書上關于方程的定義提出過質疑，并提議將方程定義為“方程，是為了求未知數，在已知數和未知數之間建立起來的一組等式關系．”[35]先生給出的定義非常嚴謹且清晰地揭示了方程的本質與意義，不僅符合西方代數教材中強調的等式關系，而且將求未知數這個功能說清楚了，同時也讓學生明白方程不是一個自然存在的公式，而是建立數學模型的過程．

6 結論與啟示

在120種美、英早期代數教科書中，共出現了屬加種差、描述性和函數定義三類，其中描述性定義占比最大，又可具體分為表達式、命題式、陳述法、比較法、典例法和組成法6個子類．19世紀80年代之前，表達式定義占有絕對優勢，隨后陳述法定義的占比逐漸增加，到20世紀發展成為主流定義方式．同時，方程的定義也經歷了從模糊到清晰的過程，早期的教科書傾向于不區分方程和等式，到19世紀末，方程才逐步從等式中獨立出來．從本質上來說，方程是一個問題，它的意義在于通過等量關系連接問題的已知和未知，進而求解未知數，方程的建立是一個數學建模的過程．

早期教科書中方程定義的多樣性以及方程定義的演變過程可以為今日教學提供有益的參考．

首先，早期教科書給出的一些定義或觀點有助于我們澄清有關方程定義的爭議．例如，無論按照何種定義，x=1當然是方程；但按照Feinstein和Murphy的觀點“方程本質上是一個問題，而不是一個陳述”[34]以及Smith的觀點“我們可以把條件方程看作疑問句，它詢問在什么條件下這個等式是成立的”[36]，x=1是一個陳述——即未知數等于1，而不是一個問題——x等于多少時等式成立，因而可以說它不是真正的方程．至于x+1=x+2，根據比較法定義，它是一個不等關系，并不屬于方程．

其次，方程概念從不完善到完善的演進過程為今日HPM視角下的方程概念教學提供了參照．教師可以設計教學活動，讓學生在課堂上用自己的語言給方程下定義，并進行古今對照，從而促進學生對方程概念的理解．教師可以引用早期教科書的精彩觀點，如“方程是溝通已知與未知的橋梁”，讓學生感悟數學對于人類認識世界的價值，彰顯數學的文化之魅．教師還可以制作以“方程定義的歷史”為主題的HPM微視頻，讓學生感悟數學概念的演進過程，樹立動態的數學觀，達成德育之效．