一道中考壓軸題的解析及拓展

姜樹峰 (江蘇省南通市通州區(qū)平潮實驗初中 226361)

1 題目來源

題目(2019年江蘇·南通卷第28題第3問)定義：點M(x,y)，若x,y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t為常數(shù)，則稱點M為“線點”．已知：在直角坐標系xOy中，點P(m,n)．若點Q(n,m)是“線點”，直線PQ分別交x軸、y軸于點A,B，當|∠POQ-∠AOB|=30°時，直接寫出t的值．

對于x2=2y+t①，y2=2x+t②，聯(lián)立成常見的方程組，由①-②，得(x+y)(x-y)=-2(x-y)，由于x≠y，得x+y=-2.利用數(shù)形結(jié)合，將未知數(shù)賦予點的坐標，x+y=-2的圖象是一條直線，點M在直線x+y=-2上，即新定義的“線點”的內(nèi)涵．

如圖1，OP=OQ(或OP1=OQ1)，OA=OB，∠AOB=90°．將這樣一個常見的圖形放到坐標系中(圖2)，點P(或P1),Q(或Q1),A,B在直線x+y=-2上.怎么做到呢？讓Q是“線點”，讓點P的橫坐標等于點Q的縱坐標，點P的縱坐標等于點Q的橫坐標，自然點P也就是“線點”，且點P,Q關(guān)于直線y=x對稱，自然OP=OQ.直線PQ分別交x軸、y軸于點A,B，就得到OA=OB，∠AOB=90°．

圖1 圖2

2 拓展

2.1 互換題設(shè)和結(jié)論

定義：點M(x,y)，若x,y滿足x2=-2y+t，y2=-2x+t，且x≠y，t為常數(shù)，則稱點M為“線點”．已知：在直角坐標系xOy中，點P(m,n)．若點Q(n,m)是“線點”，直線PQ分別交x軸、y軸于點A,B，當t=6 時，求|∠POQ-∠AOB|．

圖3

2.2 拓展一

定義：點M(x,y)，若x,y滿足x2=ay+t，y2=ax+t，且x≠y，a,t為常數(shù)，則稱點M為“線點”．已知：在直角坐標系xOy中，點P(m,n)．若點Q(n,m)是“線點”，直線PQ分別交x軸、y軸于點A,B，當∣∠POQ-∠AOB∣=α時，0°<α<90°，求t的值．

2.3 拓展二

(1)定義：點M(x,y)，若x,y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t為常數(shù)，則稱點M為“線點”．已知：在直角坐標系xOy中，點P(m,n)，m<-1，n>-1．若點Q(n,m)是“線點”，T為線段PQ的中點，D為線段OT上任一點，∠POQ=α．連結(jié)DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°-α，點D的對應(yīng)點是點E．隨著點D在線段OT上位置的變化，點E的位置也在變化．求證：當α確定時，點E在一條直線上．

如圖4，對于等腰三角形POQ，T為底PQ的中點，D為線段OT上任一點，∠POQ=100°．連結(jié)DP，將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)80°，點D的對應(yīng)點是點E，當點E在直線OT上時，容易發(fā)現(xiàn)QE∥PO．當點P,Q的位置變化，T的位置不變，點E的位置變化有什么特性呢？由此編制出這題．

圖4 圖5

圖6 圖7

圖8

(2)定義：點M(x,y)，若x,y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，t為常數(shù)，則稱點M為“線點”．已知：在直角坐標系xOy中，點P(m,n)，m<-1，n>-1．若點Q(n,m)是“線點”，M為線段OQ上一點，如果在線段PQ上有兩個“線點”T，使∠OTM=∠OQP，求QM長的范圍(用t表示)．

有兩個“線點”T，與一元二次方程根的判別式相聯(lián)系，別樣的數(shù)形結(jié)合．原題定義中引進了參數(shù)t，這樣的新編制讓參數(shù)t的意義充分體現(xiàn)．

圖9

(3)定義：點M(x,y)，若x,y滿足x2=ay+t，y2=ax+t，且x≠y，a,t為常數(shù)，則稱點M為“線點”．已知：在直角坐標系xOy中，點Q(n,m)是“線點”，求|n|+|m|的最小值．

問題解決某市要修建一條通往圓形景觀湖的道路，如圖9，道路以N為起點，先沿NM方向到某處，再在該處拐一次直角彎到湖邊，如何修建能使道路最短？

分析 (x+y)(x-y)=-a(x-y)，由于x≠y，得x+y=-a，直線x+y=-a與x軸交于點A(-a,0)，與y軸交于點B(0,-a)．OA=OB=|a|．當點Q在線段AB上時(含點A,B)，如圖10，過點Q作QR⊥x軸于點R，因為∠OAB=45°，所以QR=AR，|n|+|m|=OR+QR=OA=|a|．當點Q不在線段AB上時，|n| + |m|>OA=|a|，所以|n|+|m|的最小值為|a|．

圖10 圖11

如圖11，以N為原點、直線MN為x軸建立平面直角坐標系．沿x軸負方向平移直線x+y=0，直到直線與圓第一次相切時停止．設(shè)切點為Q，過點Q作QD⊥x軸于點D．修建方案：先沿NM方向修建到D處，再沿DQ方向修建到Q處．設(shè)點Q(n,m)，由Q為“線點”，|n|+|m|的最小值為|a|，OD+DQ=|n|+|m|，OD+DQ的最小值為|a|.如果接著沿x軸負方向平移直線x+y=0， |a|會增大，OD+DQ會增大．

說明 將原題中的新定義再拓展為一般情形，探究出“線點”的特性——橫坐標、縱坐標的絕對值的和的最小值為|a|．再利用“線點”的這一特性解決實際問題．實際問題與“線點”的特性結(jié)合得相當精妙．