高考數(shù)學(xué)試題命制的案例研究

秦小龍 (江蘇省蘇州市吳中區(qū)蘇苑高級中學(xué) 215128)

高考作為我國選拔人才的考試制度，一直是高中教學(xué)關(guān)注的焦點(diǎn)．江蘇高考2008年實(shí)施新方案以后，由于數(shù)學(xué)在高考總分中所占的比重較大，故而有所謂“得數(shù)學(xué)者得天下”的說法．

高中數(shù)學(xué)的教育教學(xué)中，試題命制是重要的一個方面．每個學(xué)校都需要命制期中、期末試卷，各地區(qū)需要命制高考模擬卷，所有這些，都需要掌握數(shù)學(xué)試題基本的命制方法．本文通過對江蘇高考數(shù)學(xué)試題分析，總結(jié)出高考數(shù)學(xué)試題命制的一些基本方法，供讀者參考．

1 原型法

所謂原型法，就是以實(shí)際生活為背景，將實(shí)際問題經(jīng)過分析、綜合、概括、抽象之后，進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，編成數(shù)學(xué)試題．例如，2014年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的第18題：

圖1

(1)求新橋BC的長；

(2)當(dāng)OM多長時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

本題就是以蘇州覓渡古橋的保護(hù)為背景，經(jīng)過數(shù)學(xué)化處理編制的一個數(shù)學(xué)應(yīng)用題．題目新穎，基本反映實(shí)際情況．覓渡古橋是在河面最窄的地方建造的，所以實(shí)際的河岸線不是平行的，是一個喇叭口形的河岸．題目的河岸構(gòu)成的圖形就差不多是一個喇叭口．新橋建造以后，以新橋?yàn)榻纾训貕K分割成兩個區(qū)域，其中含古橋部分的區(qū)域是旅游景點(diǎn)區(qū)，所以這一側(cè)的保護(hù)區(qū)的范圍越大越好，當(dāng)然最大就是和新橋相切．

問題的第(2)問就是問保護(hù)區(qū)面積最大時，保護(hù)區(qū)的設(shè)計問題，有實(shí)際意義．新橋的另一側(cè)實(shí)際是供旅游大巴停車的地方，在抽象后的題目中沒有反映．另外，古橋要位于保護(hù)區(qū)的中央部分才能得到保護(hù)，怎樣才能保證古橋在保護(hù)區(qū)的中央部分呢？因?yàn)閳A心是圓的最中央，所以圓心附近就是圓形保護(hù)區(qū)的中央部分，題目要求圓形保護(hù)區(qū)的圓心在古橋上，實(shí)際就保證了古橋位于圓心附近，即保證古橋在保護(hù)區(qū)中央部分，這也與實(shí)際相符．要求古橋兩端離保護(hù)區(qū)邊界最短的地方不小于80 m，也是起一個古橋和外界的隔離作用，從而得到保護(hù)，所以題目基本反映實(shí)際情況．

考慮到數(shù)學(xué)應(yīng)用題解答的方便，故對實(shí)際問題進(jìn)行了“修剪”處理．如新橋BC和河岸AB垂直，這個就是數(shù)學(xué)化處理，因?yàn)閷?shí)際的背景中肯定是不垂直的．再譬如保護(hù)區(qū)是圓形的，實(shí)際背景中是不很規(guī)則的，不可能是圓形．

再如，2012年江蘇高考第12題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是．

本題是以臺球?yàn)楸尘暗念}．定圓C相當(dāng)于目標(biāo)球，譬如紅球．注意到直線y=kx-2過定點(diǎn)(0,-2)，相當(dāng)于在定點(diǎn)(0,-2)處放一個母球(白球)，斜率k相當(dāng)于擊打母球后母球沿直線運(yùn)行的方向．母球是動圓，圓心在直線上，所謂動圓與定圓C有共公點(diǎn)，就是母球沿直線運(yùn)行碰到目標(biāo)球C．問題問的是：如果動圓與定圓有共公點(diǎn)，則k的最大值有多大？這相當(dāng)于問，要母球碰到目標(biāo)球，擊打母球的方向如何控制．本題是一個原創(chuàng)的優(yōu)秀試題．

2 改編法

所謂改編法，就是對原有題目進(jìn)行改造得到新題目的方法．由于高考試題要求試題具有公平性，所以用改編法進(jìn)行高考試題命制，改編的原題應(yīng)該是課本題或高考題．一般不能把教輔書上的題進(jìn)行改編變成高考題．

2013年的第17題就是一個好的改編題．題目如下：

圖1

如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l:y= 2x-4．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．

(1)若圓心C也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；

(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

第(1)問比較簡單，我們這里討論第(2)問．本題中的圓C是半徑為1、圓心在定直線l上的動圓．第(2)問說點(diǎn)M既在動圓C上，又滿足MA=2MO．由于A和O是定點(diǎn)，滿足MA=2MO的點(diǎn)M在一個定圓上(阿氏圓)，也就是說，點(diǎn)M既在動圓C上，又在一個定圓上，也就是動圓和定圓有共公點(diǎn)的問題，或者說母球C碰到了目標(biāo)球(定圓)．本題實(shí)際上是2012年第12題的改編題，改編的方法是把2012年12題中的已知定圓隱藏在等式MA=2MO中，這樣就得到了2013年的第17題第(2)題．

當(dāng)然，并不是所有的高考改編題有如此高超的改編技巧，有的改的就比較直接，可以稱之為高度相似，譬如下面兩個高考題就高度相似：

再譬如，2006年江蘇高考的第18題(帳蓬問題)和2016年江蘇高考的第17題(倉庫問題)的第(2)問高度相似：

2006年江蘇高考第18題：請您設(shè)計一個帳篷，它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐(圖3)．試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？

圖3 圖4

2016年江蘇高考第17題：現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(圖4)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的四倍．

(1)若AB=6 m，PO1=2 m，則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m，則當(dāng)PO1為多少時，倉庫的容積最大？

總之，改編題是高考試卷命制的來源之一，甚至是可稱得上是主要來源．

3 推廣法

所謂推廣法，就是把原先題目的方法或結(jié)論推廣到一般情形后得到新題目的方法．推廣法的關(guān)鍵是要吃透原來題目的解法，理解原題的本質(zhì)特征．

2011年江蘇高考壓軸題的第(2)問是很難的一個題目，經(jīng)過對該題目的仔細(xì)研究，并進(jìn)行推廣，得到了2017年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第19題的第(2)問．我們先看一下2011年江蘇高考的壓軸題．

題目：設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，已知對任意整數(shù)k∈M，當(dāng)n>k時，Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立．

(1)設(shè)M={1}，a2=2，求a5的值；

(2)設(shè)M={3,4}，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

我們來研究第(2)問．解答的第一步是把條件中的和的等式轉(zhuǎn)化為通項(xiàng)的等式，也即：

由題意可知當(dāng)k∈M={3,4}，且n>k時，Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk) ①，Sn+1+k+Sn+1-k=2(Sn+1+Sk) ②．②-①，得an+1+k+an+1-k=2an+1③．

這一步的結(jié)果表明，原數(shù)列每隔k項(xiàng)成等差數(shù)列．這里的k可以取3和4．也就是說數(shù)列{an}每隔3項(xiàng)成等差數(shù)列，而且每隔4項(xiàng)成等差數(shù)列．

第二步的本質(zhì)就是證明數(shù)列{an}每隔3項(xiàng)成等差數(shù)列且每隔4項(xiàng)成等差數(shù)列可以推出每隔2項(xiàng)成等差數(shù)列，然后再從每隔3項(xiàng)成等差數(shù)列且每隔2項(xiàng)成等差數(shù)列推出數(shù)列{an}成等差數(shù)列．

現(xiàn)在把等式③進(jìn)行推廣，把左邊的以an+1為對稱中心的一對數(shù)的和推廣到以an為對稱中心的k對數(shù)的和，原來一對對稱數(shù)的和是中間項(xiàng)的2倍，那么k對對稱數(shù)的和就是中間項(xiàng)的2k倍，結(jié)論還是一樣．這樣就得到了2017年第19題的第(2)題：

對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”．

(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；

(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列．

4 結(jié)語

由于數(shù)學(xué)考試是數(shù)學(xué)教育評價和選拔人才的主要的方法，所以會命題、命好題是教育工作者不可回避的問題．試題命制是一個艱苦的工作， 要完成好這個工作，除了本身的積累、經(jīng)驗(yàn)、學(xué)識和智慧，還需要學(xué)習(xí)其他人，特別是高考命題專家的命題方法．