剛體教學中對轉矩和角動量的思考

溫利平

摘 要：在經典力學中，轉矩和角動量是特別重要的概念，也是很不容易理解的概念。直接講質點或質點系的定點或定軸轉動，難免會艱澀不易懂。本文將其與力學中的運動學和動力學聯系起來，對定點轉動和定軸轉動的轉矩和角動量進行了分析，使關于轉動的教學更順暢更容易理解。

關鍵詞：角動量;轉矩

一般物體不僅會平動，還會轉動、晃動或者彎曲，為了研究的方便，我們可以使問題簡化一些，把剛體作為研究對象，剛體實際上是一種理想模型，它在運動的時候形狀是保持不變的。如果我們不考慮剛體質心的運動，那么剛體就只剩下轉動了。如果物體以某個固定軸轉動，則該轉動叫定軸轉動。那么，用什么物理量來描述物體的轉動呢？我們可以在物體上描一個點當作記號，只要知道這個點運動到什么地方，就能準確地說出物體的位置，而描述這個點的位置，只要一個角度就夠了，因此，我們要描述剛體的定軸轉動，只要研究角度隨時間的變化關系就可以了。

一、從運動學角度描述轉動

為了研究轉動，就要觀察物體轉過的角度，即從某一個時刻到另一個時刻整個物體位置的角變化。類似于一維運動中描述物體的位置和速度那樣，平面轉動中描述物體的角位置和角速度。在一維運動中描述物體在某一時刻運動的快慢用瞬時速度表示，在平面定點轉動中描述質點在某一時刻的轉動快慢用轉動速度表示，把角速度對時間再次微分，就得到了角加速度，此項與平動中的加速度對應。

如下圖所示，一個質點經過時間后，從P點繞著坐標原點以半徑轉到了Q點，通過數學知識我們可以得到以下方程式：

……（1）

……（2）

如果物體的角速度恒定，通過以上兩個式子可求出：;直角坐標系中速度的矢量就可以寫成：;速度的大小就可以寫成。這也是勻速圓周運動中線速度與角速度的關系，對于這個關系也不難理解，因為質點在時間內走過的路程是弧長，那么單位時間內走過的路程就是。

以上是我們通過把轉動運動學和質點運動學規律聯系起來后，發現了線量和角量的關系，其理論基礎是：質點的角度在發生變化時，它的位置矢量在坐標軸上的投影也會隨之發生變化。

二、從動力學角度描述轉動

既然是動力學，就要引入一個新的物理量“力”。首先，我們要找到一個“物理量”，這個物理量對轉動的作用就像力對線性運動的作用，換句話說，就是力是改變物體平動運動狀態的原因，那么哪個物理量是改變物體轉動狀態的原因。要使一個物體轉動，就需要一個“扭轉力”，我們可以先叫它“轉矩”（torque一詞起源于拉丁文torquere，是扭轉的意思），剛體的定軸轉動可以類比質點的一維運動，對一維運動，質點在力的作用下發生位移，則該力對質點做功了，同理，如果剛體在轉矩的作用下發生了角位移，則轉矩就對剛體做功了。舉例：某個力作用在剛體上某一點，如果剛體定軸轉過一個很小的角度，那么如何來求這個力做的功[1]？

很明顯……（3）

結合（1）（2）式，功也可以表示成

……（4）

（4）式表明功可以表示成質點轉過的角度乘以“力和距離的組合”，這個括號內的力和距離的組合就是我們前面提到的轉矩。轉矩一般也叫力矩，其中“矩”是用離開軸的距離多少增加權重的。由以上分析可得出：功除了可以定義為力和位移的點乘，也可以定義為轉矩乘角度。轉矩并不是一個新概念，它借助于力的定義并與牛頓力學相關。

在平面運動中，如果剛體受到多個力產生的轉矩，也是適用的，轉矩可以代數相加。功就等于總轉矩M和的乘積。對二維轉動有

……（5）

特別強調：（5）式是對給定轉軸而言的，如果選擇的轉軸變了，一般情況下轉矩的值也會改變。當然轉矩還有一個有趣的公式：

三、以質點為例談談角動量的引入

牛頓第二定律表明，合外力是一群質點總動量的變化率。以此類比，合外轉矩是質點系的總角動量的變化率。假設一個質點繞著o點做平面曲線運動，半徑r可以改變，就像地球繞著太陽運動一樣。

根據轉矩公式（5），再結合牛頓第二定律有

上式表明轉矩實際上是某個量隨時間的變化率，我們給這“某個量”起個名字就叫角動量。

……（6）

（6）式對相對論同樣成立。很對稱和巧妙的是，轉矩是用力的分量表示，角動量是用線動量的分量表示。

從以上推論可知：角動量不能反映質點離開原點的快慢，但能反映出質點圍繞原點轉動的快慢。即，角動量只和動量的切向分量有關，這也說明角動量的大小不僅和動量有關，還和動量臂有關。，因為涉及到位置矢量，所以角動量和軸的位置也有關系。

四、對角動量守恒的應用拓展

對一個固定點或固定轉軸，當物體不受力矩或合外力矩為零時，物體的角動量保持不變，這個結論就叫角動量守恒定律[2]。物體的角動量可以看成兩部分之和，一部分來自物體質心的運動，另一部分來自于物體相對質心的運動。如果考慮大量質點在有內力和外力作用的同時繞著一個固定軸轉動的問題，我們可以應用牛頓第三定律得到一個結果：兩個相互作用力具有相同的力臂，力的方向卻相反，所以由它們產生的兩個轉矩等大反向，內轉矩之和為零，即，內轉矩不影響質點系的轉動效果。那么，由此可以得到一個定理：質點系相對于任何軸的角動量的變化率和質點系相對于該軸的外轉矩之和是相等的。我們可以把物理中常常提到的剛體當成質點系來處理。因為剛體的運動是大量質點運動的集合。

（一）開普勒定律就是角動量守恒定律的語言表述。對于一個系統來說，如果系統總的外轉矩為零，則這個系統的總角動量不變，這就是角動量守恒定律。角動量守恒定律在經典力學中很重要。以行星圍繞太陽運動為例，行星的轉矩為零，因此角動量守恒。行星圍繞太陽運動的面積變化率與角動量成正比，因此行星在相等時間內掃過的面積相等，這正是開普勒第二定律的內容。

（二）陀螺儀是角動量守恒的一個很好的例證。陀螺儀有兩個特性：進動性和定軸性，這兩種特性都是建立在角動量守恒的原則下[3]。陀螺儀的轉動慣量不隨時間變化，如果將陀螺儀的轉軸指向某一個方向，當轉子繞自身的對稱軸以固定角速度高速旋轉時，無論如何改變框架的方位，其中心軸空間取向始終保持不變，從而具有導航能力[4]。隨著科技的發展，陀螺儀從最早的航海導航到現在的航空和國防工業。陀螺儀的基本特點是它的進動性和穩定性。利用這些性質，陀螺儀能被用來作信號傳感器，它能提供準確的位置信息、速度和加速度信息，這些信息被用來控制導彈或探測火箭的飛行姿態和飛行軌道。陀螺儀也可以作為穩定器被安裝在衛星相機上。

在經典力學中，角動量已經很重要了，我們都知道，對孤立運動體系而言，它的總角動量是常量。當然，在某些情況下或一些約束條件下，非孤立系統的總角動量也可以是一個常量。對于角動量在經典力學中的這些性質，在量子力學中有等價結果。比如有經典類比的軌道角動量，比如沒有經典類比的自旋角動量（屬于基本粒子的內稟角動量）。當然，量子力學中的角動量理論完全建立在一些對易關系上，這就意味著角動量的三個分量不可能同時測量。

由此可知，無論是經典力學還是量子力學，角動量都是一個非常值得思考和重視的物理量。

參考文獻

[1] 費曼，萊頓，桑茲.費恩曼物理學講義[M].上海：上?？茖W技術出版社，2013：189-191.

[2] 馬文蔚，周雨青.物理學[M].北京：高等教育出版社，2014：119-126.

[3] 邵懷華，卓玉霖.陀螺進動中的“角動量不守恒”問題[J].物理與工程，2018，28（6）：39-42.

[4] 王志剛，張立換，徐建軍.角動量理論在現代技術中的應用[J].現代物理知識，2017（1）：10-13.