淺談小學數(shù)學教學中的建模思想

王忠慧

（吉林省敦化市第三小學校，吉林 敦化 133700）

數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物地特征，數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。從廣義講，數(shù)學的概念，定理，規(guī)律，法則，公式，性質(zhì)，數(shù)量關(guān)系式，圖表，程序等都是數(shù)學模型。從狹義上理解，數(shù)學模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關(guān)系結(jié)構(gòu)，是相應系統(tǒng)中各變量及其相互關(guān)系的數(shù)學表達。它具有一般化、典型化、和精確化的特點。數(shù)學建模就是對實際問題進行抽象、簡化，建立模型，求解模型，解釋驗證的過程，是一種數(shù)學思考方法。

一、數(shù)學模型在小學數(shù)學中的具體體現(xiàn)

數(shù)學模型在小學數(shù)學中的應用雖簡單但無處不在。例如：數(shù)的表示（自然數(shù)列：0，1，2，….）；數(shù)的運算（a+b=c，c-a=b，c-b=a，c÷a=b，c÷b=a 等）；方程（a+b=c 等）；數(shù)量關(guān)系（時間、速度和路程：s=vt；數(shù)量、單價和總價：a=pn；正比例關(guān)系：y/x=k 等）；用字母表示公式（三角形面積；S=1/2ah；平行四邊形面積：S=ah；圓面積：S=πr2；長方體面積：V=abh 等）。

二、模型思想在小學數(shù)學教學中的滲透

（一）數(shù)概念模型

每一個數(shù)概念就是一個數(shù)學模型。自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)都是現(xiàn)實模型的抽象。

1.整數(shù)的直觀模型：教材中提供多種模型幫助學生經(jīng)歷、感受建模過程，體會模型思想。（1）有結(jié)構(gòu)的實物（十個是一捆，十個一捆是一大捆，如此等等；（2）數(shù)位筒；（3）計數(shù)器（算盤），在這一階段孩子對于數(shù)位的理解已經(jīng)有抽象的成分在里面，并含有一定的位值思想；（4）數(shù)位表：在數(shù)位表上擺珠子，孩子理解數(shù)位表上的珠子的意義比上一個層次更加抽象；（5）半形象、半抽象的“數(shù)尺”、數(shù)軸、百數(shù)表。

2.分數(shù)的直觀模型。小學數(shù)學教材中分數(shù)有多種直觀模型：（1）實物模型：例如半杯牛奶、半個蘋果……分數(shù)概念的引入是通過“平均分”某個實物取其中的一份或幾份認識分數(shù)的，這些直觀模型即為分數(shù)的“實物模型；（2）面積模型：用面積的“部分—整體”表示分數(shù)。通過“平均分”某個“正方形”或者“圓”，取其中的一份或幾份（涂上“陰影”）認識分數(shù)的，這些直觀模型即為分數(shù)的“面積模型”。學生在三年級主要是借助面積模型初步認識分數(shù)；（3）集合模型：分數(shù)的集合模型需要學生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多個”看作“整體1”，所以是五年級學習分數(shù)的意義的重點，也是與三年級認識分數(shù)最大的不同。

（二）幾何圖形是模型

每一種圖形本身就是一種數(shù)學模型。點、線、面、基本的平面圖形、立體圖形的定義就是生活中幾何模型向抽象的數(shù)學模型的構(gòu)建過程。平面圖形、立體圖形的周長、面積、體積的計算公式就是模型化思想滲透的重要途徑。例如：把立體圖形的面畫在紙上，這就是把生活中的現(xiàn)實模型抽象成數(shù)學研究的數(shù)學模型的過程。對這些數(shù)學模型進行分類，找出他們之間的聯(lián)系和區(qū)別。從而抽象出三邊形、四邊形、五邊形等圖形的定義。在分類中進一步建立數(shù)學模型。再針對四邊形進行二次分類，讓學生認識特殊的四邊形（平行四邊形、長方形、正方形、梯形）和一般的四邊形。計算公式是模型、模式與函數(shù)是模型、搭配、運算律、數(shù)學公式、“份總”關(guān)系、統(tǒng)籌問題、雞兔同籠問題、植樹問題、商不變的性質(zhì)、工程問題、行程問題（行走中的數(shù)學、相遇問題）、烙餅問題、田忌賽馬等等都是模型。

三、新教材內(nèi)容滲透與蘊含的數(shù)學思想方法

從一年級開始，各冊都有一單元進行滲透。例如：第二冊中《找規(guī)律：探索圖案和數(shù)字簡單的排列規(guī)律》蘊含著有序思維方式；第三冊中《簡單的排列：1、2能組成幾個兩位數(shù)？》蘊含著排列組合的數(shù)學思想；《猜一猜他們拿的是什么書？》蘊含著簡單推理的數(shù)學思維方法；第四冊《找規(guī)律：鋪地磚花紋的規(guī)律、等差數(shù)列的探究規(guī)律》蘊含著有序思維的數(shù)學方法；第五冊《3 個數(shù)字能擺成幾個三位數(shù)？》蘊含著排列組合的數(shù)學思想；第六冊《重疊問題：參加語文、數(shù)學小組的共幾人？》蘊含著集合思想；《等量代換：幾個蘋果與1 個西瓜一樣重？》蘊含著等量代換思想；第七冊《運籌問題：烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問題》蘊含著運籌對策論；《對策問題：田忌賽馬》蘊含著優(yōu)化思想；第八冊《植樹問題：兩端都種、兩端都不種、封閉方陣中種樹》等蘊含著化歸、數(shù)學建模思想；第九冊《數(shù)字編碼：郵政編碼、身份證編碼、編學號》等蘊含著數(shù)字編碼思想；第十冊《找次品：5 件、9 件物品中找次品》蘊含著優(yōu)化思想、歸納推理；第十一冊《雞兔同籠問題、龜鶴同籠問題》等體現(xiàn)著化歸、數(shù)學建模思想；第十二冊《抽屜原理：4 支鉛筆放入3 個文具盒、5 本書放入2 個抽屜，怎么放？》蘊含著抽屜原理、數(shù)學建模思想。

從以上不難看出，小學生學習數(shù)學知識的過程，實際上是對一系列數(shù)學模型的理解、把握的過程。為了學生未來生活、工作和學習的需要，真正發(fā)揮教材作用，需要我們小學一線教師進一步更新觀念，加強學習，在教學中重視滲透模型化思想，幫助小學生建立并把握有關(guān)的數(shù)學模型，把握住數(shù)學的本質(zhì)，讓學生的數(shù)學思維能力得到切實、有效的發(fā)展，進而提高學生的數(shù)學文化素養(yǎng)，煥發(fā)數(shù)學教學的生機，鑄造數(shù)學學科的靈魂。