(1+1)維水波方程的孤波結構

徐昌智 王紅專

(金華教育學院，浙江 金華 321000)

孤立波是英國科學家羅素發現的。1871年，布森內斯克(Boussinesq)、1876年瑞利(Lord Rayleihg)分別從理想流體的運動方程導出孤波波形關系。1895年，德弗里斯(de Vries)和科特韋格(Korteweg)利用淺水中小振幅和長波運動的實驗，建立了非線性淺水波方程，此方程后來演化為著名的非線性Korteweg-de Vries方程。關于非線性水波方程有許多類型，如(1+1)維淺水波方程、高階淺水波方程、非線性Green-Naghdi水波方程等[1]。本文研究如下的(1+1)維水波方程[2]：

1 (1+1)維水波方程的試探解

非線性方程的求解方法，比較典型有對稱約化方法、傅里葉級數展開方法、多線性變量分離方法、形變映射方法等[3]，本文采用齊次平衡方法，經研究分析可設方程(1)(2)有如下的解形式：

2 (1+1)維水波方程的孤波結構

則得到(1+1)維水波方程的物理場量 的穩定型雙孤波結構，圖1至圖7分別是t=-7，t=-4，t=-1，t=1，t=5，t=7，t=9的波形圖，圖8是隨時間變化的演化圖形，從中可見2孤子穩定傳播，并有一次相互作用，瞬時合為單孤波結構。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

如果任意函數 選取：

則得到(1+1)維水波方程的物理場量的非穩定型孤波結構，圖9至圖18分別是t=-4.5，t=-4，t=-3，t=-2，t=-1，t=0，t=1，t=2，t=3，t=4.5的波形圖，圖19是隨時間變化的演化圖形，從中可見該孤波只有在一定時間內出現，在時孤波消失。

圖9

圖10

圖11

圖1

圖13

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

圖1

如果任意函數 選取:

則得到(1+1)維水波方程的物理場量 的周期性孤波結構，圖20至圖26是在一個周期內，時間分別取t=0.01，t=0.1，t=0.3，t=0.5，t=0.7，t=0.9，t=0.99的波形圖，圖27是隨時間變化的演化圖形，從中可見該孤波的幅度在隨時間變化，同時，發現有時出現雙孤波結構，有時出現單孤波結構，但可以持續穩定波動。

圖20

圖21

圖22

圖2

圖24

圖25

圖26

圖27

3 結語

通過齊次平衡方法研究(1+1)維水波方程(1)(2),獲得了方程(1)(2)的二組新試探解，分析其物理場量 的解結構，找到了三種新類型的孤波結構，分別是穩定型雙孤波結構、非穩定型孤波結構、周期性孤波結構，這不僅對(1+1)維非線性方程的孤波研究，特別是非穩定型孤波結構，以及(2+1)維非線性方程的孤波研究也有一定啟示。