改進的雙曲正切函數的變步長LMS 算法

章堅武，余皓，章謙驊

（1.杭州電子科技大學通信工程學院，浙江 杭州 310018；2.之江實驗室智能網絡研究中心，浙江 杭州 311121）

1 引言

隨著現代通信技術的發展，毫米波通信以及同時同頻全雙工通信是目前5G 研究中的熱點研究領域[1-2]。在這些研究領域中，為更好地進行高指向性波束校準以及相應的信號檢測，需要進行干擾噪聲的自適應對消，該類問題是目前的研究難點之一。Widrow 等[3]最早在20 世紀80 年代提出了最小均方誤差（LMS,least mean square）算法，LMS 算法具有計算簡便、實現難度低、適應能力強等特點，在雷達波束成形、干擾噪聲自適應對消和新一代移動通信技術等領域被廣泛應用[4-8]。

傳統LMS 算法的步長為定值（下文稱為定步長LMS 算法），不能同時滿足快速收斂和低穩態誤差的要求。鑒于此，為了改善定步長LMS 算法的性能，研究者開展了大量的研究。文獻[9]提出了基于S 函數的變步長LMS 算法，該算法利用S 函數控制步長變化，使步長因子在收斂初期取得一個較大值，在接近或達到收斂時，賦予步長因子一個較小值。相較于定步長LMS 算法，變步長LMS 算法具有更快的收斂速度和更低的穩態誤差。但在趨于收斂時，由于S 函數的特性，該算法在接近原點時曲線過于陡峭，會導致步長因子取值迅速變化，使算法在穩態時的誤差變大。文獻[10]將S 函數經過平移翻轉變換，并引入參數改善了S 函數的底部變化，獲得了較好的性能，但由于該算法模型過于復雜，影響了算法的靈活性。文獻[11]則基于具有S函數曲線特性的Q 函數，并利用補償項的相對誤差互相關函數控制步長的更新，提出了一種新的變步長LMS 算法，由于Q 函數的特性，該算法同樣面臨著收斂時穩態誤差大的問題。文獻[12]使用了梯度的統計平均控制步長因子，提高了算法的收斂速度并獲得了較好的穩態誤差性能，不足是該算法的抗干擾性能較差，且引入的判斷門限使算法的復雜度過高。文獻[13]通過引入指數函數，提出了基于指數函數的變步長算法，但該算法在運行過程中使用了過多的指數運算，同樣導致算法的復雜度過高。文獻[14]在文獻[13]的基礎上，將其中的變步長方法用于部分濾波加權系數的更新，提高了收斂速度，并降低了復雜度。然而，在低信噪比環境下，該算法在接近收斂時的步長較大，導致穩態性能較差。文獻[15-16]則建立了步長因子與迭代次數的非線性關系，可以提高算法的收斂速度，同時改善了抗干擾性能，但它們的跟蹤性能卻明顯不足。

綜上所述，已有的變步長算法不能同時較好地解決噪聲干擾、系統跟蹤性能差、穩態誤差較高等問題。為了解決以上問題，本文提出了基于改進雙曲正切函數的變步長LMS 算法（IVSSLMS,improved variable step-size LMS），該算法在雙曲正切函數的基礎上，利用誤差信號的相關值和步長反饋因子，共同調節步長因子的取值，使算法在保證快速收斂的同時，降低穩態誤差，并提高了算法的系統跟蹤性能。與已有變步長算法對比，本文所提算法具有更優異的性能。

2 定步長LMS 算法

自適應濾波器的原理框架如圖1 所示。輸入信號x(n)經過未知系統與外界噪聲v(n)疊加后形成期望信號d(n)，x(n)經過自適應濾波器后的輸出信號為y(n)。將期望信號d(n)與輸出信號y(n)相減得到誤差信號e(n)。e(n)反饋給自適應濾波器來更新自適應濾波器的加權系數向量，使更新后的輸出信號更加接近于期望信號，從而達到自適應濾波的目的。

圖1 自適應濾波器原理框架

自適應濾波器的輸出信號y(n) 為

其中，X(n)=[x(n),x(n?1),…,x(n?M+1)]T，W(n)=[w(n),w(n?1),…,w(n?M+1)]T均為自適應濾波器的加權系數向量，M為自適應濾波器的階數。誤差信號e(n)為期望信號與自適應濾波器輸出信號之差，其值為

誤差信號的均方誤差（MSE,mean square error）E[e2(n)]為

LMS 算法自適應濾波器的加權系數更新式為

其中，μ為步長因子，其值為常數；?(·)為求梯度。

對均方誤差的梯度向量?I進行估計，如式(5)所示。

聯立式(4)和式(5)可得

定步長的LMS 算法的流程為

由文獻[1]可知，LMS 算法的收斂條件為

其中，λmax為自適應濾波器輸入信號自相關矩陣的最大特征值。

3 改進的變步長LMS 算法

傳統的定步長LMS 算法中步長因子為恒定值，不能同時改善收斂速度和穩態誤差性能，為了解決這種問題，各種變步長算法被提出。覃景繁等[17]給出的步長選取原則為步長因子在算法初期應取得一個較大值，使算法能夠快速收斂，當算法趨于收斂時，使步長因子取得一個較小值，以減小穩態誤差。

由于步長因子為正值，將式(11)變成偶函數，即

文獻[18]在雙曲正切函數的基礎上，利用誤差信號的相關值e(n)e(n-1)，代替e(n)減小了隨機噪聲的干擾，并通過引入參數改善了步長因子的底部特性，一定程度上解決了定步長LMS 算法的缺陷。但該算法的系統跟蹤能力略顯不足，因此，為了加強步長與輸入信號的關系，使算法具有良好的跟蹤能力，本文在文獻[18]的基礎上加入一個步長反饋因子J(n)，J(n)的表達式如式(13)所示。

將誤差信號的相關值e(n)e(n?1)代替e(n)，并把J(n)的二范數作為自變量代入式(12)中，得到式(14)。

為防止輸入信號功率突然增大導致算法發散，在加權系數向量更新時，加入“歸一化”算法對μ(n)進行限制，即

其中，φ是為了避免分母過小而設置的常數，取值為0.01。

至此，IVSSLMS 算法流程可總結為

由式(18)可知，當e(n)→0時，；當e(n)→∞時，，即μ(n)的最大值為α。由式(10)可得，IVSSLMS 算法的收斂條件為

4 算法理論分析

4.1 參數選擇

本節通過誤差函數與步長因子的關系曲線，將IVSSLMS 算法中參數對步長的影響進行討論分析，關系曲線如圖2 所示。其中，圖2(a)為β=20、m=600、k=0.6，α分別為0.1、0.2、0.3 時的步長曲線；圖2(b)為α=0.3、m=600、k=0.6，β分別為15、25、50時的步長曲線；圖2(c)為α=0.3、β=20、k=0.6，m分別取60、600、6 000 時的步長曲線；圖2(d)為α=0.3、β=20、m=600，k取0.3、0.6、0.9 時的步長曲線。

從圖2 可以看出，參數α對步長的取值起到了至關重要的作用。隨著α的增大，步長的取值也較大，即在滿足式(20)的情況下，較大的α能獲得較大的步長，算法能獲得較高的收斂速度。

參數β、m、k對步長函數的形狀影響較大。可以看到，β越小，m越大，k越小，則在同一誤差值下，步長的取值越小。另外，由圖2(d)可以看出，若k選的過大，誤差信號還未為0 時，步長因子就已經為0 或幾乎為0，這將嚴重減緩算法的收斂速度。因此，在實際的工程運用中，需要對α、β、m、k的取值進行折中考慮。

圖2 各參數變化時μ(n)與e(n)曲線

4.2 算法抗干擾性分析

式(18)中涉及隨機性的因子只有e(n)e(n-1)||J(n)||2，采用統計平均來分析系統的抗干擾能力。步長反饋因子J(n)=kJ(n?1)+e(n)X(n)，其中，J(0)為零向量，將步長反饋因子進行簡化得到

計算e(n)e(n-1)||J(n)||2的期望為

由式(22)可以得到，當i≠j時，由于0＜k＜ 1，n→∞，E{e(n)e(n?1)||J(n)||2}=0，即此時的步長變化對算法沒有干擾。

當i=j時，式(22)可以寫成

由式(23)可知，系統的統計平均特性不含噪聲v(n)，系統不受獨立噪聲v(n)的影響。因此IVSSLMS算法利用調節步長因子可以提高算法的抗干擾能力。

5 仿真分析研究

5.1 算法參數對性能的影響分析

本文的所有仿真在MATLAB R2016a 軟件下進行。設自適應濾波器的階數M=6，假設未知系統為橫向FIR（finite impulse response）結構，抽頭系數為[?0.580 6,0.653 7,?0.322 3,0.657 7,?0.058 2,0.289 5]，在迭代次數N=500 時將系統的抽頭系數設置為[?0.580 6,0.485 6,?0.238 7,0.159 6,?0.325 4,0.102 5]。假設自適應濾波器的輸入信號x(n)和干擾噪聲v(n)均為0 均值的高斯白噪聲，x(n)的方差為1，v(n)的方差為0.001，即信噪比為30 dB。系統的取樣點數為1 000，每條學習曲線均為200 次獨立仿真后求其統計平均的結果。參數α和β變化時的學習曲線如圖3 所示。

圖3(a)是β=3 000、m=10、k=0.9，α分別取0.1、0.5、0.8、1.0、1.5 時的學習曲線。分析圖3(a)可知，在α從0.1 增加到1.5 的過程中，算法的收斂速度越來越快，但穩態誤差也相應提高。當α=0.1 時，算法達到穩態的次數為200 左右；當α=1.5 時，算法達到穩態的次數為50 左右，但α=1.5 時的穩態誤差較大。經過仿真驗證，α為0.8 左右時算法性能較優異。在工程應用中，α的取值首先需要分析輸入信號的統計特性，其次還要使α值滿足式(20)。

圖3(b)是α=0.8、m=10、k=0.9，β分別取2、25、200、3 500、40 000 時的學習曲線。分析圖3(b)可知，隨著β的增大，算法的穩態誤差和收斂效果都逐漸變好。當β分別為3 500 和40 000 時，兩者的收斂速度和穩態誤差接近。為了降低系統的計算量，提高算法的運行速度，經過仿真驗證，β為3 500左右時算法性能較優異。

圖3 參數α 和β 變化時的迭代次數與均方誤差曲線

參數m和k變化時的學習曲線如圖4 所示。

圖4(a)是α=0.8、β=3 000、k=0.9，m分別取1、15、150、5 000、10 000 時的學習曲線，分析圖4(a)可知，m=1 時的學習曲線與m=15 時學習曲線的收斂速度相近，但m=15 時的穩態誤差較低。經過仿真驗證，m為15 左右時算法性能較優異。

圖4(b)是α=0.8、β=3 000、m=1 000，k分別取0.6、0.7、0.8、0.9、1.5 時的學習曲線，分析圖4(b)可知，參數k越大，對應算法趨于穩態時的誤差越小。但k的值過大會導致算法的收斂速度降低，如k=1.5 所示。經過仿真驗證，k為0.9 左右時算法性能較優異。

圖4 參數m 和k 變化時的迭代次數與均方誤差曲線

5.2 算法穩健性分析

本節將分析IVSSLMS 算法的穩健性，仿真設置的環境與5.1 節設置的環境相同，算法參數設置為α=0.85、β=3 500、k=0.9、m=15。不同信噪比下算法的學習曲線如圖5 所示。

圖5 不同信噪比下的學習曲線

由圖5 可知，在IVSSLMS 算法達到穩態后，隨著系統參數的改變，IVSSLMS 算法仍可以快速恢復到收斂狀態，這表明IVSSLMS 算法具有較好的跟蹤能力。在低信噪比條件下，IVSSLMS 算法仍可以保持良好的性能，這表明IVSSLMS 算法具有良好的穩健性。

6 多種變步長LMS 算法性能對比

本節將IVSSLMS 算法與文獻[18-21]這幾種變步長算法在信噪比分別為30 dB 和15 dB 時進行仿真，仿真設置的環境與5.1 節設置的環境相同。幾種變長算法對比如表1 所示。

系統取樣點為1 000、每條曲線均為200 次獨立仿真后取平均的結果，仿真結果如圖6 所示。

由圖 6(a)可知，當信噪比為 30 dB 時，IVSSLMS 算法的收斂速度和穩態誤差性能均明顯高于其他4 種變步長LMS 算法，文獻[18]算法在系統響應發生變化時，收斂速度和穩態誤差性能均受到嚴重影響，表明該算法的系統跟蹤能力較差。文獻[19]算法的穩態誤差較高。文獻[20]算法的收斂速度快于文獻[21]算法，但穩態誤差高于文獻[21]算法。由圖6(b)可知，當信噪比為15 dB 時，文獻[18-20]算法的收斂速度均快于文獻[21]算法，但穩態誤差低于文獻[21]算法。文獻[21]算法的穩態誤差接近于 IVSSLMS 算法，但IVSSLMS 算法的收斂速度比文獻[21]算法快了2 倍以上。通過以上對比分析可知，在高低信噪比背景下，相比于這4 種變步長LMS 算法，IVSSLMS算法的收斂速度優勢明顯，穩態誤差也較低，對外界系統的適應性也更強。

表1 幾種變步長算法對比

圖6 不同信噪比環境下各算法的學習曲線

7 結束語

本文分析了多種已有變步長LMS 算法，提出了一種新的變步長算法IVSSLMS。該算法基于改進的雙曲正切函數，引入步長反饋因子和誤差信號的相關值控制步長因子的更新，使在收斂初期步長獲得較大值提高算法的收斂速度，在趨于收斂時步長獲得恒定的較小值減小穩態誤差。仿真實驗表明，IVSSLMS 算法在高/低信噪比下的性能相較于其他變步長算法更優異。但IVSSLMS 算法引入的參數較多，與其他變步長算法相比計算量稍大，但以目前的硬件水平是完全可以接受的，因此IVSSLMS 算法具有廣闊的工程應用場景和較高的實際應用價值。