生活原型在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

陳延

概念是思維的核心，是推理的基礎(chǔ)。概念結(jié)構(gòu)一般包含概念名稱、概念定義、概念屬性和概念例證四部分。

《圓的認(rèn)識(shí)》是人教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)的圖形概念課。幾何學(xué)中對(duì)圓的定義如下：

1. 平面上到定點(diǎn)O的距離等于定長r的全體點(diǎn)組成一條曲線稱為以點(diǎn)O為圓心、以r為半徑的圓周，簡(jiǎn)稱圓，記為⊙O或⊙O（r）;

2. 到定點(diǎn)的距離等于定長的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為圓;

3. 給定一條線段，使其繞著它的一個(gè)固定的端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，其另一個(gè)端點(diǎn)所經(jīng)過的封閉曲線稱為圓。

圖形特征和定義有著緊密的聯(lián)系。以圓的半徑數(shù)量為例，正是因?yàn)閳A是無數(shù)個(gè)到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合，而半徑是連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段，因此圓的半徑有無數(shù)條。

考慮學(xué)生年齡特點(diǎn)，小學(xué)階段的教材并沒有要求學(xué)生掌握?qǐng)A的準(zhǔn)確定義。但如果學(xué)生不能真正理解圓的形成過程、畫圓的原理以及圓的特征的來源，僅停留在對(duì)知識(shí)進(jìn)行機(jī)械記憶，不利于學(xué)生推理能力的提升和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

借助生活原型，可以將抽象的定義以更直觀的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，幫助學(xué)生更深刻地理解圓的特征和畫圓的原理。

一、從生活中“引出圓”

問題：套圈游戲這樣站公平嗎？為什么？如果有更多人想加入可以站哪里？滿足到目標(biāo)距離是2m的點(diǎn)有幾個(gè)？

結(jié)合學(xué)生說理，PPT動(dòng)態(tài)演示，首先把人和目標(biāo)抽象成點(diǎn)（圖1），再把每人到定點(diǎn)距離調(diào)整到相等，最后動(dòng)態(tài)出現(xiàn)點(diǎn)（圖2），直至圍成圓（圖3）。

以“套圈游戲”進(jìn)行導(dǎo)入，學(xué)生比較感興趣，而且熟悉規(guī)則——每個(gè)人到定點(diǎn)的位置必須相等才公平。再通過動(dòng)畫演示，將有限的點(diǎn)演變成無限，直至引出圓。在這一環(huán)節(jié)中，借助學(xué)生熟悉的生活原型，結(jié)合多媒體演示，成功滲透圓的第一個(gè)定義，初步讓學(xué)生感受到“圓上任意一點(diǎn)到圓心距離相等”的特征，為之后的學(xué)習(xí)做鋪墊。

二、利用生活經(jīng)驗(yàn)“創(chuàng)造圓”

活動(dòng)：回憶套圈游戲，根據(jù)圓“由無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，它們到目標(biāo)點(diǎn)的距離相等”的特點(diǎn)，利用硬紙條、回形針、圓規(guī)來畫圓。

學(xué)生小組合作嘗試，并進(jìn)行展示（圖4）。

對(duì)比三種畫法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：雖然運(yùn)用不同的工具，但畫的時(shí)候是有共同之處的：都有固定的點(diǎn)、都要旋轉(zhuǎn)一周。然后出示反例（圖5），引導(dǎo)學(xué)生思考，畫不好的原因可能是什么？強(qiáng)調(diào)畫圓時(shí)除“定點(diǎn)”外，“定長”同樣重要，引出“圓心”“半徑”。

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，學(xué)生要對(duì)圓的形成有更加感性的認(rèn)識(shí)，就必須嘗試自己動(dòng)手“創(chuàng)造圓”。在以往的教學(xué)及教材中，往往會(huì)出現(xiàn)“拓印”以及使用圓規(guī)兩種畫圓方法。對(duì)比圓規(guī)畫圓，拓印是直接使用已有物體進(jìn)行復(fù)制，雖然方便，但并不利于學(xué)生感悟圓的形成。如果只用圓規(guī)畫圓，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生形成錯(cuò)覺，是因?yàn)橛袌A規(guī)才有圓，而事實(shí)是圓規(guī)是根據(jù)圓的定義所創(chuàng)造的一種作圖工具。

本課的教學(xué)中，我舍棄了“拓印”，而改為使用跟圓規(guī)相同原理的另外兩種工具畫圓，先讓學(xué)生聯(lián)系“套圈游戲”，再對(duì)比不同工具嘗試畫圓，然后找出共性，能更加深刻地感悟到“圓上任意一點(diǎn)到圓心距離相等”的特征，理解圓規(guī)畫圖的原理;也了解到“定點(diǎn)”“定長”對(duì)圓形成的重要性，引出圓心、半徑;同時(shí)也能更好地滲透圓的第二、第三個(gè)定義。

三、結(jié)合生活情景“認(rèn)識(shí)圓”

承接上一環(huán)節(jié)，介紹圓心、半徑及其字母表示方法后，PPT動(dòng)態(tài)出示圓的五條半徑（圖6）。引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)其相同點(diǎn)：半徑連接圓心和圓上一點(diǎn);半徑是一條線段。然后引導(dǎo)學(xué)生概括出半徑的定義：半徑是連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段。再讓學(xué)生結(jié)合圓的定義、套圈游戲和畫圓活動(dòng)（圖7），嘗試說明圓的半徑的特征。

然后再以相同的思路教學(xué)直徑，并在過程中得出同一圓中，直徑和半徑的關(guān)系。

概念教學(xué)的一個(gè)常規(guī)做法，就是通過豐富的例子，對(duì)比概括出其本質(zhì)。圓的半徑和直徑定義方式都是屬于“屬加種差”。以半徑為例，線段是鄰近的屬，而“連接圓心和圓上任意一點(diǎn)”則是其種差。在本課中，我首先給出同一圓中的五條半徑，讓學(xué)生進(jìn)行觀察，找出相同點(diǎn)并嘗試概括，學(xué)生很容易就會(huì)找出它們的共同點(diǎn)：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)。但由于學(xué)生之前缺乏概括定義的經(jīng)驗(yàn)，因此學(xué)生在概括的時(shí)候一般只能說出共性，而沒有表達(dá)出完整概念，這時(shí)就需要教師加以引導(dǎo)。半徑是一條線段，結(jié)合教師的引導(dǎo)，學(xué)生就能完整概括半徑的概念，并真正理解其本質(zhì)。

在教學(xué)半徑和直徑的特征時(shí)，我也選擇了從定義出發(fā)，結(jié)合生活情景和畫圖經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理：圓上各點(diǎn)到圓心距離相等，所以半徑也相等。在教學(xué)直徑特征時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，同一圓內(nèi)，直徑長度是半徑兩倍，因?yàn)橥瑘A內(nèi)半徑長度相等，所以直徑長度也相等。這樣的教學(xué)能讓學(xué)生再次深化對(duì)圓的特征的認(rèn)識(shí)，順勢(shì)突破教學(xué)難點(diǎn)，有效提升學(xué)生的推理能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

四、回歸生活“應(yīng)用圓”

問題：如果把車輪做成正三角形、正方形和橢圓，哪輛車行駛起來更平穩(wěn)？車輪為什么要做成圓的呢？如果把車輪做成這樣（圖8），汽車行駛起來會(huì)怎樣，為什么？

學(xué)生帶著問題和思考觀看微課，理解圓形車輪中的數(shù)學(xué)原理。然后教師趁勢(shì)追問，當(dāng)“定點(diǎn)”不在圓心時(shí)（不同長），汽車行駛起來會(huì)怎樣，為什么？引導(dǎo)學(xué)生思考，然后通過動(dòng)畫讓學(xué)生直觀感受。

“車輪為什么設(shè)計(jì)成圓形”是圓特征應(yīng)用的經(jīng)典例子。課前我設(shè)置了兩個(gè)問題讓學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。

1. 平地行駛時(shí)，車輪應(yīng)該做成什么形狀？

2. 如果把車輪造成正三角形、正方形和橢圓，你認(rèn)為哪輛車行駛起來更顛簸，為什么？

對(duì)于問題1，學(xué)生有充足的生活經(jīng)驗(yàn)，知道車輪是圓的。但在問題2中，95%以上的學(xué)生認(rèn)為橢圓車輪行駛起來會(huì)相對(duì)平穩(wěn)，原因是橢圓沒有角。觀看實(shí)驗(yàn)視頻后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)事實(shí)和他們的判斷明顯不同，橢圓才是最顛簸的，引起他們的強(qiáng)烈探究欲望。

而在學(xué)習(xí)圓的特征之后，大部分學(xué)生都能將該例子和圓的特征聯(lián)系起來，再通過觀察、比較和思辨，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圓心到圓上任意一點(diǎn)距離相等，車軸安裝在圓心，能保證車身到地面的距離相等，車子行駛起來才會(huì)平穩(wěn)。

理解其背后所隱藏的數(shù)學(xué)原理后，我趁勢(shì)追問：是否只要車輪是圓的就可以，如果車軸不安裝在圓心上呢？通過反例再次說明車軸在圓心位置的重要性，也再一次增強(qiáng)學(xué)生對(duì)圓的特征的理解。

借助生活原型進(jìn)行教學(xué)，能讓學(xué)生在觀察、想象中形成概念，在對(duì)比和思辨中，更深刻地理解概念，進(jìn)而運(yùn)用概念。這樣的教學(xué)方式，有效地幫助學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)，自主建構(gòu)概念，提升推理能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

責(zé)任編輯? ?羅 峰