高等數(shù)學(xué)中關(guān)于格林公式需注意的問題

季佳梁

（上海工程技術(shù)大學(xué) 數(shù)理與統(tǒng)計學(xué)院，上海 201620）

第二類曲線積分在物理上有廣泛的應(yīng)用．在高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，第二類曲線積分以及格林公式既是重點也是難點．正確地計算第二類平面曲線積分不僅是本科生必須熟練掌握的，也是全國碩士研究生入學(xué)考試中的重點內(nèi)容．本文比較全面地歸納了應(yīng)用格林公式求解第二類曲線積分時應(yīng)該注意的問題．

應(yīng)用格林公式求解第二類曲線積分時，首先應(yīng)考察曲線積分是否滿足格林公式的條件，即曲線是否封閉，能夠圍成一個閉區(qū)域；被積函數(shù)在該閉區(qū)域上是否存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；曲線是否為閉區(qū)域的正向邊界．若上述條件不滿足，則需要用添輔助線等方法預(yù)處理，或者采用其他方法來計算曲線積分．

因此，首選考慮平面上曲線積分與路徑無關(guān)以及格林公式來求解該問題．但題中所給曲線并沒有圍成封閉區(qū)域，所以必須添加輔助線使得曲線封閉．然而，此處若考慮不仔細，極易給出錯誤的過程與答案．

錯解一：取C1:y=0，x:2→?2. 則

分析：上述解法錯在輔助線的添加．因為輔助線包含點(0，0)，而被積函數(shù)P(x，y)和Q(x，y)在點(0，0)處無定義．因此，曲線積分無意義，后續(xù)計算也就沒有意義了．

分析：上述解法還是錯在輔助線的添加．因為使用格林公式時函數(shù)被積函數(shù)P(x，y)和Q(x，y)必須在C2與C所圍區(qū)域D2上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)[1]．本題中點(0，0)包含在區(qū)域D2內(nèi)，P(x，y)和Q(x，y)在點(0，0)處無定義，故在點(0，0)處也不具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．所以，不滿足格林公式的使用條件．

分析：在上述解法中，雖然C3與C所圍區(qū)域D3中沒有點(0，0)，且被積函數(shù)P(x，y)和Q(x，y)在區(qū)域D3上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，然而C3與C所構(gòu)成的邊界不是區(qū)域D3的正向邊界，故不滿足格林公式的應(yīng)用 條件．

從上面的例子我們可以看到，應(yīng)用格林公式時，被積函數(shù)P(x，y)和Q(x，y)必須在閉區(qū)域D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．如果在區(qū)域D上含有奇點，那么要把奇點挖去，在挖去奇點的復(fù)連通區(qū)域上再應(yīng)用格林公式，而挖奇點的一般原則是根據(jù)被積函數(shù)的特征來進行．

例2 已知f(x，y)連續(xù)，求曲線積分

其中C是單位圓x2+y2=1，取逆時針方向．

分析：上述解題過程無法得到最后的結(jié)果．從題中可知，對于曲線積分，曲線封閉且為閉區(qū)域D的正向邊界．但根據(jù)題目條件僅知f(x，y)連續(xù)，故被積函數(shù)P(x，y)和Q(x，y)在區(qū)域D上是否具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)是不能確定的，因此不滿足格林公式的應(yīng)用條件[2]．所以直接應(yīng)用格林公式是錯誤的，需要采用其他方法來計算這個曲線積分．

正解：對于C上任意一點(x，y)，在該點處的切向量為(-y，x)，則

通過上面例題的分析，學(xué)生要會熟練靈活地運用格林公式求解第二類曲線積分，必須對相關(guān)的條件與結(jié)論全面地了解、掌握，在學(xué)習(xí)過程中多加練習(xí)．另一方面，在教學(xué)過程中，教師要在課堂中多與學(xué)生交流互動，更加全面地了解學(xué)生的情況．課堂上例題的選取也是教師需要考慮的問題，應(yīng)盡量做到知識點的覆蓋．而且，教師要及時對易錯點進行探究、分析和講評，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的 能力.