幾類三角函數積分的方法總結

修風光

（沈陽理工大學理學院，遼寧 沈陽 110168）

1 借助三角函數之間的基本關系進行積分

2 借助三角恒等式積分

六類三角函數之間除了基本的轉換關系之外，還滿足若干三角函數恒等式，例如

此外，正弦函數和余弦函數相關的和差化積、積化和差等等這些關系式在涉及三角函數的積分時，若能靈活運用，會大大簡化積分的運算，從而達到積分的目的。

3 形如∫sin mxcosn xdx(m,n均 為非負整數)的不定積分

此時，可令xcos=μ，就可把上式轉化為多項式的積分。

若n為奇數，則

同上，令xsin=μ，同樣可轉化為多項式的積分，然后借助基本積分公式正常積分即可。

若m,n均為偶數。則可借助相關的三角函數恒等式進行降次。當m,n數值比較大時，會需要多次降次，然后利用（1）和（2）的方法，借助第一類換元法進行積分。

4 形如∫secmxtann xdx(m,n均 為非負整數)的不定積分

1）若m為正偶數，則利用三角恒等式sec2x=tan2x+1有

此時，可令xtan=μ，就可把上式轉化為多項式的積分。

若m=0，則得積分此時

進而通過遞推可得積分結果。

3）若m為奇數，n為偶數，則利用三角恒等式進行變形，進而可化為求形如的積分，然后借助分部積分法進行求解即可。

4）若m為奇數，n為奇數，則

此時，可令xsec=μ，同樣可轉化為多項式的積分。

含有三角函數的不定積分處理方法往往不是唯一的，本文中所給出的方法經驗證基本是最簡便的。另外需要指出的是本文中提到的這些處理三角函數積分的方法是基于不定積分求解的一般方法。所以對于這些方法的掌握必須以熟練掌握基本積分方法為前提。同時一般高數教材中所總結的基本積分公式也應當熟記。這樣多管齊下，才能快速準確地達到求解任何一個不定積分的目的。